解き方を教えてくださいm(__)m

質問

図形と方程式の問題です。
解答は渡されたのですが、解き方がわかりません。教えてくださる方、お願い致します。

aを正の実数とする。Oを原点とする座標平面上に２点A(a,0)、B(2,1)をとり 3OP^2＋AP^2＝OA^2を満たす点Pの軌跡をKとする。
(1)Kは中心(a/4、0)、半径a/4の 円。

(2)点Bが円Kの内部にあるのはa>5 のとき。
直線ABの方程式はx＋(a-2)y-a＝0 (1) である。

(3)(1)が円Kの接線となるとき、a＝2＋2√2 である。

(4)a＝3のとき、点Pから(1)までの距離の最小値は、(9√2-6)/8 である。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

aを正の実数とする。Oを原点とする座標平面上に２点A(a,0)、B(2,1)をとり 3OP^2＋AP^2＝OA^2を満たす点Pの軌跡をKとする。

(1)P(x,y)とすると3OP^2＋AP^2＝OA^2より

3(x^2+y^2)+(x-a)^2+y^2=a^2

整理して

X^2+y^2-ax/2=0

(x-a/4)^2+y^2=(a/4)

これは中心C(a/4,0),半径a/4の円である。

(2)点Bが円Kの内部にあるのは

|BC|<a/4

(2-a/4)^2+1<(a/4)^2

a>5

(2’)直線ABの方程式

2点A,Bを通る直線の公式より

ｙ=(x-a)(1/(2-a)

整理して

x＋(a-2)y-a＝0 (1)

(3)(1)が円Kの接線となるとき

接点をHとするとCH=a/4
CHは点と直線との距離の公式より

CH=|a/4+(a-2)×0-a|/√(1+(a-2)^2=(3a/4)/ √(1+(a-2)^2 (2)
CH=a/4とおき整理すると
(a-2)^2=8
a=2±2√2
a>0より
a=2+2√2

(4)a＝3のとき、点Pから(1)までの距離PHの最小値
C,P,Hが1直線上にある場合である。
PH=CH-CP=CH-a/4
CHは（2）においてa=3として求める。
CH=(9/4)/ √2=9√2/8
CP=a/4=3/4
PH=9√2/8-3/4=(9√2-6)/8

お礼

わかりやすく解説してくださり、ありがとうございました！

回答No.2

yyssaa

(1)Kは中心(a/4、0)、半径a/4の 円。
＞
P(x,y)とすると
OP^2=x^2+y^2
AP^2=(x-a)^2+y^2
OA^2=a^2を与式に代入
3(x^2+y^2)＋(x-a)^2+y^2＝a^2、整理して
3x^2+3y^2+x^2-2ax+a^2+y^2＝a^2
4x^2-2ax+4y^2=0
x^2-(1/2)ax+y^2=0
(x-a/4)^2+y^2=(a/4)^2・・・答
(2)点Bが円Kの内部にあるのはa>5 のとき。
直線ABの方程式はx＋(a-2)y-a＝0 (1) である。
＞
A(a,0)とB(2,1)を通る直線の方程式は
y/(x-a)=1/(2-a)よりx+(a-2)y-a=0
Kの中心(a/4,0)と点B(2,1)との距離がKの半径a/4
より小さければ点Bは円Kの内部にあるので、
√{(a/4-2)^2+1^2}=√(a^2/16-a+5)＜a/4
両辺とも正だから二乗してa^2/16-a+5＜a^/16より
5＜a・・・答
(3)(1)が円Kの接線となるとき、a＝2＋2√2 である。
＞
x=-(a-2)y+aを(x-a/4)^2+y^2=(a/4)^2に代入
{-(a-2)y+a-a/4}^2+y^2=(a/4)^2
{(-a+2)y+(3/4)a}^2+y^2=(a/4)^2
(-a+2)^2y^2+(3/2)(-a^2+2a)y+(3/4)^2a^2+y^2=(a/4)^2
(a^2-4a+5)y^2+(3/2)(-a^2+2a)y+(1/2)a^2=0
接線だからこの方程式の実数解は1個、すなわち根の判別式
(3/2)^2(-a^2+2a)^2-4*(a^2-4a+5)*(1/2)a^2=0
整理してa^2-4a-4=0、解いてa={4±√(16+16)}/2
a={4±√(16+16)}/2=2±2√2、
0＜aだからa=2+2√2・・・答
(4)a＝3のとき、点Pから(1)までの距離の最小値は、(9√2-6)/8 である。
＞a=3のとき、Kは(x-3/4)^2+y^2=(3/4)^2、(1)はx+y-3=0
Kの中心(3/4,0)と直線x+y-3=0との距離(Lとする)は、点と
直線との距離の公式によりL=|3/4-3|/√2=9/(4√2)
ここからKの半径を引いて
9/(4√2)-3/4=(9-3√2)/(4√2)=(9√2-6)/8・・・答
（なお、この部分はKの中心(3/4,0)を通りx+y-3=0と直交する
直線を求めて、両直線の交点とKの中心(3/4,0)との距離を
算出し、そこからKの半径3/4を引いても計算できる）