方程式で一つの式に表す際は符号が違っていても良い？

質問

次の問題と解答にて、(1)のｍは図bのときマイナスに、図aのときプラスになるから、図a.bをまとめて一つの式で表せるという事ですか？

解答：θについて反時計回りを正とすると（図ｂのθは負）、図a,bまとめて次式で表せる。

ｄ（sinα＋sinθ）＝ｍλ・・(1)

問題：画像の図は反射型の回折格子とよばれるもので、入射した光は傷つけられなかった部分によって反射されるとき回折を受ける。角θへの回折格子が満たす条件式を、波長λ、格子定数ｄ、整数ｍを用いて記せ。図aは垂直入射の場合、図ｂは角αをなして入射した場合である。

回答No.2

keechan5

先の回答にまったく賛成ですが、
参考までにもう１つ私の考えも紹介させてください。

右辺のmλはあとにして左辺を考えてみましょう。
左辺はご存知の光路差です。
問題はその差のとり方が３つあることです。
１番左の山を1番、その左のを２番とします。
それぞれの光線の長さをpath1, path2 とします。
単に差といえば
path2 - path1、path1 - path2、｜path2 - path1｜
の３つもあります。
ここでは、見かけのよいpath2 - path1を採用しましょう。
入射光だけの差では
path2 - path1＝dsinα-----(あ)
です。ここでαは法線から反時計まわりに測ることが条件です。
図bでは入射光は左に傾いていて正ですが、
もしも光線が右に傾くと負になり、その場合ath2 - path1も負で、
path1のほうが長いという事情を表します。
ところで（あ）の式は2本の平行線の長さの差ですから、
入射光、反射光ともに成り立ちます。そこで反射角をΘとすれば、
path2 - path1＝dsinΘ-----(い)
ここでΘも法線から反時計まわりに測ることが条件です。
「（あ）の右辺＋（い）の右辺」で全体の光路差となります。
path2 - path1＝dsinα＋dsinΘ
注意すべきことはαもΘも反時計まわりを正としていることです。
従って、図aでも図bでもΘには負の数を代入することになります。
ちなみに、反射の法則が成り立つ方向ではα＝-Θですから
path2-path1=0 となります。
path1の方が長いことも、短いこともあるのですから、
波長の正数倍の光路差がある場所とは
path2 - path1＝0、±λ、±2λ、±3λ、．．．
となるわけです。これをmで表すと
path2 - path1＝mλ　（だだし、m=0、±1、±2、±3、．．．)
となります。

で、ご質問にお答えします。
図aではα=0でΘ<0ですから、mλのmは負です。
図aではα>0でΘ<0ですが、見かけではα＜|Θ|
だから、d(sinα+sinΘ)<0 です。
従ってこれでも、mλのmは負です。

お礼

ありがとうございます！

なんとなく理解できました。

実は画像と問題ごと凡ミス的に間違えていました。すみません。

訂正後です→http://okwave.jp/qa/q9056992.html

回答No.1

bran111

図ｂにおいて、θの方向性を考えずに法線から測った角度を単純にθとすると
「角θへの回折格子が満たす条件」とは「光路差が波長の整数倍になる条件」と同値であり、このとき光は強め合うということです。「光路差が波長の整数倍」ということを式で書くと
ｄ(sinα-sinθ)＝ｍλ　　　　　　　　　　（*）
であるということはわかりますか。

次に角度に向きを与えて反時計回りを正とするとαは正、θは負の向きになっているので(*)の式は
　　　　　ｄ(sinα-sin(-θ))＝ｍλ
となり、
三角関数の性質によって
　　　　　　sin(-θ)=-sinθ
従って回折条件は
　　　　　ｄ(sinα+sinθ)＝ｍλ　　　　　　　　　　　　　(**)
と言っています。

図aは(**)において
　　　　　α＝0
の場合です。

従って、(**)を図a,図bに共通する一般式と考えるのは適切です。

お礼

ありがとうございます！

ナルホドです。

実は画像と問題ごと凡ミス的に間違えていました。すみません。

訂正後です→http://okwave.jp/qa/q9056992.html