円弧描画の方程式について

質問

まったくの数学音痴です。
エクセルで円を書こうとしています。

原点を(X0,Y0)とする半径Rの真円を表す方程式は

X = Rcosθ + X0
Y = Rsinθ + Y0

で示すことができるということを教わりましたが、式の意味がよくわかりません。
ここでθには何がはいるのでしょうか？

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

θは角度です。
0°～360°まで変化させれば円になります。

が、エクセルのＣＯＳ関数やＳＩＮ関数の引数はラジアン単位なので、
0～２π　といった方がいいかも知れません。
（πは、円周率のパイと同じと考えてください）

式の意味ですが、まず
+X0, +Y0 の部分は　ｘ方向にX0,y方向にY0だけ平行移動することを意味します。
全体を平行移動することによって、円の中心を任意にできるわけです。

次に、+X0 +Y0 を除いた部分を考えます。

x=Rcosθ
y=Rsinθ

これは、極座標表示(確か）と言われる座標の表し方なんです。
まず、Ｘ軸とＹ軸を書いてください。
で、適当なところに点をとってください。（分かりやすいように第1象限(x>0,y>0のところ）に点をとってください。）
その点をＡ(x,y)とします。
その点と原点Ｏ(0,0)を直線で結びます。
このとき、線分ＡＯの長さがR, 線分ＡＯとｘ軸のなす角がθです。
長さを一定にして、角度を１周させれば円になるというわけです。

あとは、高校の教科書を引っ張りだして三角比と単位円のところを見てください。

お礼

> エクセルのＣＯＳ関数やＳＩＮ関数の引数はラジアン単位なので、
> 0～２π　といった方がいいかも知れません。
>（πは、円周率のパイと同じと考えてください）

わかりました！
道理でθに１～３６０を代入しても駄目だったわけです。
ありがとうございました。

回答No.3

hinebot

#2です。
>> 実際上の式の両辺を２乗して足すとうまい具合にθが消えて、ｘ^２＋ｙ^２＝Ｒ^２となり確かに円の方程式です。
>これが良くわかりません。

実際にやってみましょう。

x=Rcosθ
y=Rsinθ

2乗して足します。
左辺=x^2+y^2
右辺=(Rcosθ)^2+(Rsinθ)^2
=R^2・(cosθ)^2+R^2+(sinθ)^2
=R^2{(cosθ)^2+(sinθ)^2} = R^2
なので、 x^2+y^2 = R^2 です。

なお、
(cosθ)^2+(sinθ)^2 = 1 （これは三角比の重要な公式です）

お礼

> (cosθ)^2+(sinθ)^2 = 1 （これは三角比の重要な公式です）

恥ずかしながらこれを知りませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

nabla

>原点を(X0,Y0)とする半径Rの真円を表す方程式は
原点ではなく中心ですね。

まずは原点（０，０）で半径Ｒの円の表し方を考えてみましょう。
（以下絵を描きながら読んで下さいね）
その円上のある点をＰ（ｘ，ｙ）とします。
今ｘ軸の正の向きから半直線ＯＰまで測った角度をθとすると、ｘ＝Ｒcosθ,ｙ＝Ｒsinθと表せることが分かります。
実際上の式の両辺を２乗して足すとうまい具合にθが消えて、ｘ^２＋ｙ^２＝Ｒ^２となり確かに円の方程式です。

ここまで言えば中心がずれた場合も分かりますね？

補足

> 今ｘ軸の正の向きから半直線ＯＰまで測った角度をθとすると、ｘ＝Ｒcosθ,ｙ＝Ｒsinθと表せることが分かります。

はい、ここまでは理解できました。

> 実際上の式の両辺を２乗して足すとうまい具合にθが消えて、ｘ^２＋ｙ^２＝Ｒ^２となり確かに円の方程式です。

これが良くわかりません。