大数の法則を確認する自由研究

質問

中学生の親戚に、数学の自由研究のテーマを頼まれました。
確か対数の法則いうのがあったと思うので、それで行けるかとも思いました。

コイン（1/2）、正四面体サイコロ（1/4）、正六面体サイコロ（1/6）、正八面体サイコロ（1/8）、正十二面体サイコロ（1/12）、正二十面体サイコロ（1/20）
を、それぞれ何回ぐらい振れば、計算上の確率に近くなるか（小数点1位で合うとか、2位で合うとか）、を、延々とサイコロを振り続けるという実験を考えました。
おそらく、コインより正二十面体サイコロのほうがたくさん振らないといけないと思うので、その回数を調べるのが目的です。

しかし、だいたい何回ぐらい振ればいいかを知らないと、失敗しそうな気がしてきました。1000回ぐらいなら出来るかもしれませんが、10000回となると、ちょっとむずかしいと思います。

どなたか、数学に強い方に、だいたい、どのくらいの回数を振れば計算上の確率に近くなる（小数点1位ぐらい？）か、予想計算をお願いしたいのです。

宜しくお願いします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

> しかし、だいたい何回ぐらい振ればいいかを知らないと、失敗しそうな気がしてきました。1000回ぐらいなら出来るかもしれませんが、10000回となると、ちょっとむずかしいと思います。

確かに、実現可能な回数にしたいというのは重要なことです。

大数の法則の限定的な証明にも使われる中心極限定理を使って回数を見積もってみましょう。

正m面体サイコロをn回振るとします。
目的の目がでる確率はどの目もどの回でも1/mです（理想的には）。
目的の目がでる回数は二項分布Binomial(n,1/m)という分布に従い、nが十分大きいと正規分布N(n/m,n(m-1)/m^2)に近似的に従います。
これが、目的の目がでる割合の場合ですと近似的に正規分布N(1/m,(m-1)/(nm^2))になります。
正規分布の性質から目的の目が出る割合は約95%の確率で
1/m-2√{(m-1)/(nm^2)} ≦ 目的の目が出る割合 ≦ 1/m+2√{(m-1)/(nm^2)}
を満たすことが知られております。

この2√{(m-1)/(nm^2)}が確率1/mからのずれなので、このずれをdに収めるには
2√{(m-1)/(nm^2)} ≦ d
これから
n ≧ 4{(m-1)/(dm)^2}
が得られ、最低限必要な回数を見積もることができます。

確率1/mの±10%に入るような回数を具体的に計算してみましょう。
d = 1/(10m)
として
n ≧ 400(m-1)
なので、
m = 2の場合、n ≧ 400
m = 6の場合、n ≧ 2000
m = 8の場合、n ≧ 2800
m = 12の場合、n ≧ 4400
m = 20の場合、n ≧ 7600

確率1/mの±10%はちょっと厳しいかな？

そういえば、昔トリビアの泉で６面のサイコロで一番出やすいのは５というのがありましたね。

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Tachibana/1550/trivia062.html

お礼

ありがとうございます。

全部のサイコロの100回ずつのデータを表にするとかグラフにするとかして

「1/2だと300回で理論値（中学生が理論値という言葉を知っているかどうかは別として）に近づくけど
1/4は500回、
1/6は800回
（中略）
1/20だと2000回やらないと近づかない」
「よって、複雑なもののデータは、たくさん取らないと正確にならない」
「逆言うと、複雑なものでも、たくさんデータを取ると正確な値に近づく」
「ビッグデータって聞くけど、そういうことか」

みたいな展開に持って行こうと思っていたんですが、どうかなあ？

>確率1/mの±10%に入るような回数を具体的に計算

>m = 2の場合、n ≧ 400
>m = 6の場合、n ≧ 2000
>m = 8の場合、n ≧ 2800
>m = 12の場合、n ≧ 4400
>m = 20の場合、n ≧ 7600
二人で手分けしても1回10秒として、1時間で360回、3時間で1000回ぐらいかな？だとすると、全部やるには、実行に難があるかなあ？
もっと減らして、m=2，6，8 ぐらいだけ、面白くなるかどうかですね。

本人にも打診してみます。

回答No.1

trytobe

統計学的に、95%の確からしさで有意 (95%の確率で必然的な結果だが、5%の確率で偶然偏った結果が出ているかもしれない) とかいう線引きをしないと回数が決まらないのですが、それは、100% には永遠にできないことを意味します。正六面体サイコロで16.6％の小数点以下一桁目となると、1%の偶然が許されるだけの 1%有意 での線引きとなるので、回数は膨大になります。

その程度の 1%有意 のために労力を使うよりは、「なぜ実際のサイコロは１／６ずつに目が出ないのか」という比較を、つくりの違うサイコロ１個ずつ３種類くらい集めてきて、振っては目が出た回数を記録して、というのを３種類で比較し、その後でサイコロの寸法や角の丸め方や目の掘られ方を測定して考察したほうが早くて有意義かと思います。