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一番重心が低くなる図形
同じ質量の立方体、円錐、正四角錐、正三角錐を比較した時に一番重心が低くなるのはどれですか？ 計算式も教えてください。 回答よろしくお願いします。
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「同じ質量」に加え、「同じ体積」という条件も付くものとして回答します。 先ず、円錐、角錐については、底面積に比して高さが大きい場合は、円錐、角錐を倒した方が重心が低くなります。 これも考慮すると、話がややこしくなるので、ここでは、底面が下になる場合のみを想定します。 円錐、角錐が、底面積に比べて高さが大きい場合は、その重心は高くなり、同じ体積の立方体の方が重心が低くなります。 反対に、円錐、角錐が、高さに比べて底面積が大きい場合は、その重心は低くなり、同じ体積の立方体の方が重心が高くなります。 さて、立方体の重心は、立方体の中心にあります。 それに対して、円錐、角錐の重心は、底面の形に因らず、底面から1/4の高さにあります（この説明は、省略します）。 今、立方体の一辺の長さをaとし、円錐（角錐）の底面積をS、高さをhとします。 立方体と円錐（角錐）の体積が等しいことから、 a^3 = Sh/3 .....[1] 立方体の重心の高さはa/2、円錐（角錐）の重心の高さはh/4ですから、これらが等しい場合は、 a/2 = h/4 .....[2] [1] [2]より、aを消去すると、 S = 3/8*h^2 このことから、次の結論を得ます。 S < 3/8*h^2 の場合、立方体の重心の方が低い。 S = 3/8*h^2 の場合、立方体の重心と、円錐（角錐）の重心は同じ高さにある。 S > 3/8*h^2 の場合、円錐（角錐）の重心の方が低い。
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- chiha2525_
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同じ質量で比べた場合、立方体より正多角錐（および円錐）の方が重心を低くすることができます。 が、立方体も（質量＝体積を無限に小さくすることで）無限に重心を低くすることができますので、極値としてはどれも同じになる、とも言えます。
お礼
お礼遅くなってすみません。 回答ありがとうございました。
- trytobe
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「錐」の高さが立方体と同一である、という条件か、 「錐」の母線（斜面に沿って測った長さ）が底面の直径や辺の長さと等しい、という条件などがないと解けません。 どれだけでも円錐とか「錐」を細く高く作れてしまうので。
お礼
お礼遅くなってすみません。 回答ありがとうございました。
- shintaro-2
- ベストアンサー率36% (2266/6244)
＞同じ質量の立方体、円錐、正四角錐、正三角錐を比較した時に一番重心が低くなるのはどれですか？ 円錐および正四角錐です 他の立体は正○○となってますので ｍ＝Vを決めた段階で、高さが決定されます。 ところが、円錐および正四角推は高さが決まらないので 底面積を大きくすればいくらでも重心は低くなります。 重心は底面積の高さ方向の変化を利用して 底面積を高さ方向に積分すれば求めることが可能です。
お礼
お礼遅くなってすみません。 回答ありがとうございました。
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