確率について

質問

1から30の数字が書かれてたボールが入った箱が2つ

AさんとBさんがそれぞれその箱からボールを15個取る

その15個の数字が一つも重なることが無い場合の確率は？

という問題の答えを教えてもらえますでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#212313 · ベストアンサー

> 1から30の数字が書かれてたボールが入った箱が2つ
> AさんとBさんがそれぞれその箱からボールを15個取る
> その15個の数字が一つも重なることが無い場合の確率は？

　確率は、求めたい条件の場合の数を、あり得る全ての場合の数で割れば出ます。ですので、まず求めたい条件の組み合わせの数を考えてみます。

　15個は30個のちょうど半分ですから、その点を使わせてもらうことにしましょう。考えやすいよう、Aさんがまず15個取り、続いてBさんが15個取るとしておきましょう（同時に取るかどうかは、以下で分かると思いますが、場合の数に影響しません）。

　まず、ある一つの場合だけを考えてみます。Aさんがまず1～15まで順番に取ったとします。すると、Bさんが一つも重なることなく取るには、16～30でなければなりません。ちょうど半分だけ取るから、こういう特殊で、考えやすいことになります。

　Aさんが、1と3～16だったらどうか。Bさんは2と17～30でないといけません。同じようにして、Aさんが取る番号をどう変えても同じことです。Aさんが15個取ったら、条件に合うBさんの取り方は一つだけです。

　つまり、Aさんがどう取ったとしても、Bさんが一つも重ならないように取るやり方は一つしかありません。Aさんが15個取れば、それで決まってしまう。ですから、Aさんが30個の番号から15個取る組み合わせの数だけを考えればいいのです。

　Aさんが選べるのは、1回目は30個から、2回目は29個から、と一つずつ減ります。ですから、30×29×28×…×17×16です。数を一つずつ減らしながら書ける記号の「！」を使うと、30！/15！と書けます。求めたい条件の場合の数は、これで分かりました。

　30×29×28×…×17×16　―(1)：求めたい条件の場合の数

　確率を求めるため、次にあり得る全て場合の数を考えます。あり得る全ては、さっきは除外したBさんの取り方を考慮すればよいです。一つも重ならない場合を含め、Bさんが取れる全ての取り方です。これは、上記のAさんと同じく、30×29×28×…×17×16です（30！/15！と書いてもよい）。

　あり得る全ての場合の数は、Aさんの取り方の場合の数と、Bさんの取り方の場合の数をかけたものになります。(30×29×28×…×17×16)×(30×29×28×…×17×16)ですね。

　(30×29×28×…×17×16)×(30×29×28×…×17×16)
＝(30×29×28×…×17×16)^2―(2)：あり得る全ての場合の数
（↑「^2」は2乗という意味の記号、エクセルでも使える書き方）

　これで確率計算に必要な場合の数が分かりました。(1)/(2)が確率ですから、計算してみます。

　(30×29×28×…×17×16)/{(30×29×28×…×17×16)^2}
＝1/(30×29×28×…×17×16)

　分母は大変な桁の数になるので、このままにしておきます（必要なら計算してください）。非常に低い確率であることだけは、この式を眺めただけでも分かります。

P.S.

　記号「！」を使うと、こんな風に書き表せまて、計算もできます。

　(30×29×28×…×17×16)/{(30×29×28×…×17×16)^2}
＝(30！/15！)/{(30！/15！)^2}
＝1/(30！/15！)
＝15！/30！
（これをさらに簡略化した書き方がありますが、割愛します。）

回答No.5

noname#212313

#1,2です。

　質問者様からお尋ねの場合はもちろん補足致しますが、他の方から事実上、名指しされた場合は、聞かれずとも進めてしまうようにしています。

　30個はちょっと多いので、具体的に場合を容易に列挙できる4個の場合を見直してみましょう（半分の個数にできる最小の数は2ですが、それでは気が付かない点があります）。

　1～4から2個、一つずつ取っていくと、次のような場合があり得ますね。

1,2　2,1　←番号が同じ組み合わせ
1,3　3,1
1,4　4,1
2,3　3,2
2,4　4,2
3,4　4,3

　12通りですが、順番に無関係なら、その半分の6通りしかありません（2個から1個取る場合を並べても、このことがはっきりしない）。

　1,2と2,1が違うといった、順番も気にするときは「順列」と呼びます。#1,2で使ったのはこれです。先ほど、記法を述べませんでしたが、m個からn個取るなら、mPnのように書きます（m,nは数字で、は小さく下付き文字にする）。mPn＝m！/(m-n)！です。

　4個から2個取る場合だと、4P2＝4！/(4-2)！＝4！/2！＝(4×3×2×1)/(2×1)＝4×3＝12となります。

　これでは、順番がどうでもいいときは、重複する場合が出てしまうわけですね。重複するものを計算して、除外する必要があります。

　2個の異なる番号を並べるのは、上記で列挙した例から分かるように、2通りできます。3個の異なる番号だと、「1,2,3」「1,3,2」「2,1,3」「2,3,1」「3,1.2」「3,2,1」と6通りできます。列挙を割愛しますが、4個の異なる番号では24通りです。

　2,6,24,…となるわけですね。ちょっと考えると、2！＝2×1＝2、3！＝3×2×1＝6、4！＝4×3×2×1＝24です。n個から順番を気にして一つずつn個取るということは、最初はn個中の1個、次がn-1個中の1個、その次がn-2個中の1個、となりますから、場合の数として、n×(n-1)×(n-2)×(n-3)×…×2×1＝n！あるわけです。これだけの数だけ、重複があることになります。

　ということは、m個からn個取り、順番を気にしないなら、順番を気にした場合の数をn！で割ってやればいいことになります。mPn＝m！/(m-n)！を、さらにn！で割ればいいわけです。これは「順列（の数）」に対して「組み合わせ（の数）」と呼ばれています。専用の記法もあり、

　mCn＝m！/{n！×(m-n)！}

というものです。先ほどの誤答（#1,2）では、

　(30P15)/(30P15)^2＝1/30P15

としてしまったわけですが、重複を許す「30P15」ではなく、重複を除外した「30C15」を使う必要があったわけです。ですから、以下のように計算しないといけませんでした。

　(30C15)/(30C15)^2
＝1/30C15
＝1/[30！/{15！×(30-15)！}]
＝{15！×(30-15)！}/30！
＝{15！×15！}/30！
＝15！/(30！÷15！)

　　15×14×13×…×3×2×1
＝――――――――――――――　←見にくいので3行で
　　30×29×28×…×18×17×16

＝…中略…

　　　1
＝――――――――――――――
　　155,117,520
（1億 5千5百11万 7千5百20 分の1 ）

回答No.4

yyssaa

＞回答No.3の1/155117520が正しい。
Aの15個の数字の組合せ如何にかかわらず、それと異なる
Bの15個の数字の組合せは1通りしかないので、その確率は
(Aの15個の確率)*(Bの15個の確率)=1*1/(30C15)=1/155117520。
　例えば1,2,3,4の4個から2個ずつ取る場合で考えると、
Aの2個は(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)のいずれかであり、
Bの2個も(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)のいずれかだから
その組合せは全部で6^2=36通り。
これらのうち、2個の数字が異なる組合せは
A(1,2)B(3,4)、A(1,3)B(2,4)、A(1,4)B(2,3)
A(2,3)B(1,4)、A(2,4)B(1,3)、A(3,4)B(1,2)の6通りだから
2個の数字が異なる確率は6/36=1/6。
　この例でもAの2個の数字の組合せ如何にかかわらず、
それと異なるBの2個の数字の組合せは1通りしかないので、その確率は
(Aの2個の確率)*(Bの2個の確率)=1*1/6=1/6になる。

回答No.3

noname#232123

Ａ，Ｂ二人のすべての取り方は、
combi(30, 15)*combi(30, 15) とおりあり、そのうちで二人のとった数字がすべて異なるのは、
combi(30, 15)*combi(15,15)=combi(30, 15) とおりですから求める確率Pは、
P=1/combi(30, 15)=(15!)^2/30!=1/155117520
となります。
---------------------
※combi(n, r) は組み合わせの数です。

回答No.2

noname#212313

#1です。

　誤変換がありました。以下のように訂正してお詫びします。

誤> 数を一つずつ減らしながら『書ける』記号の「！」を使うと、30！/15！と書けます。求めたい条件の場合の数は、これで分かりました。

正>数を一つずつ減らしながら『掛ける』記号の「！」を使うと、30！/15！と書けます。求めたい条件の場合の数は、これで分かりました。

　これだけではなんですので、「！」も一応ご説明申し上げます。30や15はちょっと多いので、4と2にしてみます。

　4！＝4×3×2×1
　2！＝2×1

　こうなります。1ずつ減らして1になるまで掛けるわけですね。#1と同様の割り算をすると、

　4！/2！
＝(4×3×2×1)/(2×1)
＝4×3（＝12）

という風になります。さきほどの問題を考えると、確率の計算結果は分母と分子が逆でした。ですから、もし4個から2個取るという問題だったら、一つも重ならない確率は1/12（＝0.08333…≒8.3％）で、たった4個でもかなり低確率です。