ニュートン法の1次収束

質問

ｙ=(x+10)(x-1)^３

に初期点を３にしてニュートン法をすると１に収束するものの
１次収束性しか出ないという事でしたがこれは

ｙ=(x+10)(x-1)^２

の場合でもおなじ事でしょうか？

回答No.1

noname#6590 · ベストアンサー

きのうに続いてかんがえてみました。

f(x)が2重根αをもてば
f(x)=g(x)(x-α)^2
f'(x)=g'(x)(x-α)^2+2g'(x)(x-α)
と表わされるので
f(α)=0,f'(α)=0…(1)
またx=αでテーラー展開すると
f(x)=f(α)+f'(α)(x-α)+(1/2)f"(x0)(x-α)^2 (α＜x0＜x)…(2)
f'(x)=f'(α)+f"(x1)(x-α) (α＜x1＜x)…(3)
これより
x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f'(x[n])…(4)
で与えられるx[n]の根αとの誤差は(1)(2)(3)より
x[n]-αが0にちかいときf"(x0)≒f"(x1)とかんがえて
x[n+1]-α=x[n]-α-{(1/2)f"(x0)(x[n]-α)^2}/{f"(x1)(x[n]-α)}
≒(1/2)(x[n]-α)
となって、2重根の付近では1次収束にちかづきます。

なので、ｙ=(x+10)(x-1)^２でもx=1に収束する場合は1次収束にまた、初期値を変えることでx=-10にに収束する場合は2次収束になるとおもいます。

お礼

遅くなってすいません
ありがとうございます。本当に助かりました