• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

楕円の周の求め方

楕円の周の求め方を教えてください。 高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです。 どなたかご存知の方、ご回答お願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数1659
  • ありがとう数7

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • TCM
  • ベストアンサー率44% (81/181)

▼これは高校では習っていないと思います・・・すんごいことになりますよ。  さて、一般に曲線上の点の位置ベクトルをrとすれば、曲線は   r=r(t)                  (1) というベクトル方程式で表すことができます。ここでtは任意の変数です。曲線上の任意の点で、   dr/dt=lim⊿r/⊿t(limにおいて⊿t→0)   (2) というベクトルをとると曲線に接し、これを接線ベクトルといいます。この接線ベクトルの長さを所定の範囲で積分して、曲線の長さsを   s=∫√{(dr/dt)・(dr/dt)}dt    =∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt      (3) として求めることができます。  楕円の中心を原点にとり、x軸方向に2aの長軸、y軸方向に2bの短軸をとると、周上の点(x,y)は、   x=acosθ, y=bsinθ            (4) と表すことができます。ここでθは原点の周りのx軸からの角度で、式(1)の変数tに対応します。式(3)と式(4)より、楕円の周の長さsは、   s=4∫√{(-asinθ)^2+(bcosθ)^2}dθ    =4∫√{a^2-(a^2-b^2)(sinθ)^2}dθ    =4a∫√{1-(a^2-b^2)/a^2・(sinθ)^2}dθ   (5) で与えられます。ただし積分範囲は0からπ/2です。式(5)はおなじみの第2種完全楕円積分を含んでいます。いま、   k^2=(a^2-b^2)/a^2               (6) とおくと、求める曲線の長さsは、   s=4aE(k)                  (7) となります。ここで、第2種完全楕円積分E(k)は、   E(k)=π/2[1-(1/4)k^2-(3/64)k^4-・・・       ・・・-{(2r-1)!!/(2r)!!}^2・k^2r/(2r-1)-・・・] (8) で与えられます。ただし、n!!は、   nが奇数のとき n!!=n(n-2)(n-4)・・・3・1   nが偶数のとき n!!=n(n-2)(n-4)・・・4・2   nが零のとき  0!!=1            (9) と定義します。  というようなわけで、ベクトル解析とか楕円積分とかの知識が必要です。やっぱり大学レベルの話だと思います。また、上記説明の中にも間違いがあるかもしれませんので、じっくりと検算をお願いいたします。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

TCMさん、詳しいご回答ありがとうございました。 ほんと、すんごいことになっていますね。

関連するQ&A

  • 楕円内の任意の点から楕円周までの最短距離

    長半径がaで、短半径がbである楕円内に、ランダムに点(座標X0,Y0)をプロットし、その点から楕円周までの最短距離をperlを使って計算したいと思っています。 最終的には、最短距離の分布がどのようになっているのかを求めたいと思っています。   この計算の結果は、細胞の形を楕円に近似したときに、特定の組織の位置がランダムな場所にあるのか、細胞の表面近くに存在する傾向があるのかを調べるためのコントロールデータとして使う予定でいます。   しかし、座標X0,Y0から、楕円周までの最短距離をどのようにして計算したらよいのか見当もつきません。計算過程は省いていただいても構いませんので、最終的にどのような式を使えば計算できるのか、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 楕円周上点と円周上の点のキョリ

    (x^2)/4+y^2/3=1(y≧0)の周上をL、 (x+1)^2+y^2=1(y≦0),(x-1)^2+y^2=1(y≦0)の周上をM,Nとして(桃型?) L,M,N上に点P,Q,Rをおいたとき、PQ+PRの最大値を求めたいのです。 楕円の焦点はF(1,0)、F'(-1,0)で、 「PFRもPF'Qもともに一直線になるときに最大値になる」と思うのですがはっきりとした根拠が出せません。

  • 角度から楕円の座標を計算したい

    原点を中心として、長径20・短径10の楕円について ある角度の時のx座標y座標の値を得る式を考えているのですが、どうしても思いつきません。 x^2/a^2+y^2/b^2=1が楕円の方程式で間違いないと思います。 現在、 x^2/20^2+y^2/10^2=1 の式で表す楕円のxとyについて、角度θから計算したいのです。 元々数学が得意でないため高校時代の教科書を探して勉強し直してみたのですが、どうしても思いつきません。 θを与えると座標が出てくる式を教えてください。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
noname#420
noname#420

楕円の周の求め方は高校時代には習っていません。 >高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです 高校時代に習ったのは、標準的な楕円の方程式とグラフの関係を習っただけだと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
noname#151056
noname#151056

高校では習ってないはずです。 というのは、楕円の周はきっちりと求まらないからです。 積分を使って近似値として求めるしかないはず。 しかもここらへんは楕円関数論とかの話に入っていく と思います。初等関数では表せない世界の話ですから もう大学レベルでしょう。 興味があれば楕円関数論の本などを読んでみては いかがでしょうか。私はパスします (^-^;;;;

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Naka
  • ベストアンサー率44% (527/1181)

◆ごめんなさい、「専門家」と言っておいてちょっと「自信なし」なんですが… 楕円の周の長さって、やりましたっけ?? 方程式や焦点の座標などは習いますが… わからないので、自分で出してみました。 式が書きづらいので、式を読みますね。 長軸の長さを2a、短軸の長さを2bとします。 そのとき、 「2πb×ルートb分のa」でどうでしょうか? 間違いでしたら、ご容赦ください。 m(_ _)m

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 楕円の一つの焦点から出た光は、楕円の周に反射して別の焦点に達する。

    楕円の一つの焦点から出た光は、楕円の周に反射して別の焦点に達する。 この性質を持つ閉曲線は楕円(円を含む)だけでしょうか? 微分方程式を作ってそれを解けばよさそうですが、うまい設定ができません。 どう立式して、どう解けばよいのでしょうか?

  • 楕円を回転 体積

    xyz空間内に 楕円C:x^2/4+y^2=1、z=0 直線l:z=x+2、y=0 がある。 楕円Cの周及び内部を直線lのまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ この問題なのですが、直線に垂直な面で切って断面積を考えて、それを積分するという方針で解こうと思っているのですが、断面積の出し方がよくわからなくて困っています。 回答いただければ幸いです。お願いします

  • 楕円上の点と外部の点の距離

    楕円上の点とその外部の定点の距離を求めたいのですが、どうやったらいいのでしょう。言い換えれば、楕円外部のある点と楕円周の点の最短の長さ。 http://okwave.jp/qa2153823.html こちらにはアイデアとして、楕円を円に直して定点との距離を求め、楕円に戻すということを考えているようですが、この方法だと円と外部の点の距離はどうやって求めたらよいのでしょう? ヒントでもありましたら宜しくお願い致します。

  • 「周」の訓読みは何とよみますか?

    「周」の訓読みで「あまね(く)」というのはあるんですか?人名で「あまね」と読むのがあるようなのですが、パソコンで「あまね」で変換しようとしても「周」はできてきません。それとも、「周」が「あまね」というのは私の聞き間違いだったのでしょうか? 意味としては「遍く」「普く」と同じと解釈してもいいんでしょうか? 回答よろしくお願いいたします!

  • 楕円という物について

    誠に初心者の質問で恐縮なのですが。 まだまだ設計経験が浅い為楕円という物を使って設計した事がありません。 とある部品の中で楕円のような物を使ってある部品図を見ました。 何と無く似たような物をCADで書いて見たのですが、さて寸法を入れようと思っては見たものの入れ方がさっぱり分かりません・・・ 楕円という物はどのようにして寸法を記入するのでしょうか? またそもそも楕円ってどういう物なのでしょうか? 学校等で勉強、講習を受けている訳ではないのでさっぱり分かりません。 出来れば、分かり易く教えてください。 宜しくお願い致します。

  • 楕円の問題です。

    【問題】 楕円4x^2+9y^2=1の外部の点L(a,b)からこの楕円に引いた接線の接点をA,Bとし,ABの中点をMとする。 (1)Mの座標をa,bを用いて表せ。 (2)点Lが楕円x^2/9+y^2/4=1上を動く時,点Mの軌跡を求めよ。 ※(1)が分かれば、(2)はなんとかできそうな気がします!! できれば(1)を中心に解説お願いします(・∀・)

  • 楕円の中心の軌跡問題です。

    楕円の中心の軌跡問題です。 問題 与えられた三角形の3つの頂点を通るような楕円の中心の軌跡を求めよ。 です。高校の範囲での解答をお願いします。

  • 楕円と楕円の交差判定

    楕円と楕円が交差しているか、いないかを判定するには 楕円と楕円の交点を求めて、判定するしかないのでしょうか? 何か良い方法がありましたらご教授下さい。 宜しくお願いします。

  • 楕円の問題

    楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1がある。(a>b>0) 点Aを(a,0)とする。 このとき原点をO、楕円上の点をPとすると、角OPA<90°となるa,bの関係を求めよ。 という問題がありました。 僕はまず、角OPAが90°になる奇跡を考えて、当然円になります。 Pがこの円の外側にあれば条件を満たせます。 この円は中心(a/2,0)、半径a/2であるので方程式は、 (x-a/2)^2+y^2=a^2/4 これと楕円とは(a,0)でだけ接すればよいので、楕円の方程式を変形してy^2=の形にして、円の方程式に代入して判別式を使ったら、a=√2×bと出てきました。 しかし答えはa≦√2×bでした。 ぼくの解答のどこがまずいのでしょうか? 添削お願いします。

  • 楕円についてなのですが・・・

    前に楕円の幾何学的性質として 「楕円上にある2点から接線を引いた場合、その接線の交点と、接点を直線で結びその結んだ直線の中点の2点を直線で結んだ時、楕円の中心点をその直線は通る。」 とある論文にあったのですが、どうも納得がいきません。この法則はどんな接点に対しても成り立つのでしょうか? どうか教えてください。お願いします。