楕円の一つの焦点から出た光は、楕円の周に反射して別の焦点に達する。

質問

楕円の一つの焦点から出た光は、楕円の周に反射して別の焦点に達する。
この性質を持つ閉曲線は楕円(円を含む)だけでしょうか？

微分方程式を作ってそれを解けばよさそうですが、うまい設定ができません。
どう立式して、どう解けばよいのでしょうか?

回答No.4

aquatarku5

NO3の回答の者です。本回答へのお礼、ありがとうございました。
お礼の内容をヒントに、当該微分方程式の求解を執念深く追求していましたが、
このたび正攻法によるコタエが得られたので、報告させて頂きます。

xyy'^2+(x^2-y^2-f^2)y'-xy=0　…(1)
に対し、z=y^2とおくとz'=2yy'なので、これを(1)の両辺に4yを乗じたものに適用、
xz'^2+2(x^2-z-f^2)z'-4xz=0　…(2)
を得ます。(2)を更にxで微分すると、
z'^2+2xz'z”＋2(2x-z')z'+2(x^2-z-f^2)z”-4z-4xz'
=-z'^2-4z+2xz'z”+2(x^2-z-f^2)z”=0　…(3)

(2)×z”-(3)×z'より、定数fを消去すると、
xz'^2z”-4xzz”+z'^3+4zz'-2xz'^2z”
=z'^2(z'-xz”)+4z(z'-xz”)
=(z'^2+4z)(z'-xz”)=0

[1]z'2+4z=0の場合
z'=±√(-4z)なので、w=-zとおくと、w≧0で、w'=±2√w
これを解いて、√w=±C。
従って、y^2=z=-w=-C^2。yが実数なので結局、y=0。これは(1)を満たす。
しかし閉曲線ではないので、求める答えに非ず。

[2]z'=xz”の場合
w=z'とおくと、w=xw'となり、これより、dw/w=dx/x。
これを解いて、z'=w=Cx。更に、z=Cx^2/2+D。
この結果を(2)に代入すると、
xC^2x^2+2(x^2-Cx^2/2-D-f^2)Cx-4x(Cx^2/2+D)
=-2x(CD+Cf^2+2D)=0
ここで、x=0は閉曲線でなく題意を満たさないので求める答えに非ず。
∴CD+Cf^2+2D=0　即ち、D=-Cf^2/(C+2)
したがって、z=Cx^2/2-Cf^2/(C+2)=y^2
∴　{(C+2)/(2f^2)}x^2+{-(C+2)/Cf^2}y^2=1

Cで場合分けすると、
・C<-2；　　負値・x^2+負値・y^2=1　となり虚楕円。これは題意を満たさず。
・C=-2；　　0=1となり矛盾。
・-2<C<0；　正値・x^2+正値・y^2=1　となり楕円。これは題意を満たす。
・C=0；　　　y=0即ち直線。これは[1]と同じ答えであり、題意を満たさず。
・C>0；　　正値・x^2+負値・y^2=1　となり双曲線。これは題意を満たさず。

以上により、求めるコタエは楕円のみであることが証明できた。

如何でしょうか？当初のご所望に沿えていて無事「解決済」となると
いいのですが・・・

回答No.3

aquatarku5

まず、微分方程式の立式。

焦点F1,F2（±f,0)
条件を満たす点A(x,y)
△F1AF2について、∠F1AF2の角の2等分線をx軸との交点をPとすると、
2等分線定理より、F1A:F2A＝F1P:F2P
また、当該2等分線は点Aを通る、閉曲線の法線。すなわち、
Y＝-1/y'・（X-x)+y　とかけるので、
P（x+yy',0)

以上より、
√{(x-f)^2+y^2}：√{(x+f)^2+y^2}＝(f-x-yy')：(x+yy'+f)

∴
{(x-f)^2+y^2}(x+yy'+f)^2={(x+f)^2+y^2}(f-x-yy)^2
これを展開・整理すると、
xy・y'^2+(x^2-y^2-a^2)y'-xy=0　（※）を得ます。

次に当該微分方程式（※）の解法。
正攻法で解くことについては、自分にはお手上げでした。m()m
判明したのは以下の3点。

１．楕円の場合、
　x=p・cosθ, y=q・sinθ, p^2-q^2=a^2　とおけば、
　（※）を満たす。

２．双曲線の場合、
　x=±p・cosh(t), y=q・sinh(t), p^2+q^2=a^2　とおけば、
　（※）を満たす。

３．数値解法
　x,yの初期値を与えてy'を求め、これより(x±δx,y±y'δx)の
　座標を求め、以下これから更にy'を求めて・・・・を繰り返すと、
　楕円および双曲線（らしきもの）が得られる。

ということで、おそらく閉曲線ということでは楕円だけではないか、
と思われます。

なお、f=0の場合は、別の立式になりますが、
原点Oと点(x,y)とを結ぶ線分が、点(x,y)における閉曲線の接線と
直交することから、x+yy'=0即ちxdx+ydy=0が得られます。
これを解くとx^2+y^2=C即ち円の方程式が得られます。
（言わずもがなですね。。。）

以上、ちょっとでもお役に立てているのならば・・・

お礼

ありがとうございます。
(c,0)から出た光が、曲線上の(x,y)で反射して、必ず(-c,0)に達するとします。
おっしゃるような二等分線の定理で、
xy・y'^2+(x^2-y^2-c^2)y'-xy=0
となりました。
ここで、y^2=f(x)とすると、2y・y'＝f'(x) なので、
x・f'(x)^2 + 2(x^2 - f(x) - c^2)f'(x) - 4xf(x) = 0

f(x)を多項式とすると、計算して3次以上や1次は不適と分かるので、2次。
y^2=f(x)=px^2+qx+rとして係数比較して、
y^2=f(x)=r-{r/(r+c^2)}x^2
がひとつの解であることがわかる。

しかし、無限級数の可能性もあるので、
f(x)=r-{r/(r+c^2)}x^2+g(x)x^3
ただし、g(x)=a[0]+a[1]x+a[2]x^2+……
としてもとの微分方程式に代入し、同じ次数の係数を比べて、
a[0]=0,a[1]=0,a[2]=0,a[3]=0,a[4]=0
となりました。ちょっとややこしいですが、数学的帰納法を使うと、任意のnでa[n]=0
がいえると思います。

回答No.2

noname#152421

座標平面で考えます。

(-f,0)、(f,0)をそれぞれ焦点の座標とします（f>0)。
(-f,0)から出た光が、ある点(p,q)で反射して(f,0)を通過したとします。

xのある区分的に微分可能な関数gを用いて局所的に(p,q)の軌跡をgのグラフと一致するとみます。簡単のため、とりあえずp>0,q>0として話を進めます。

また、
(-f,0)から(p,q)への向きとx軸との成す角をθとし、
(f,0)から(p,q)への向きと-x軸との成す角をφとします。

θが増加するときの(p,q)の速度ベクトルを考えると、上記条件は

tanθ=q/(f+p)
tanφ=q/(f-p)
g'(p)=tan((θ-φ)/2)

と表せます。

あとはこれらを計算していけばよく、

g'(p)^2-((f^2-p^2+q^2)/(pq))g'(p)-1=0

という方程式が導き出せます。
簡単な計算により、楕円はこれの一つの解であることがわかります。
それ以外に解があるかどうか考えればいいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
微分方程式に関してもいいアイデアがありましたら、どなたか教えてください。

回答No.1

spring135

＞楕円の一つの焦点から出た光は、楕円の周に反射して別の焦点に達する。
＞この性質を持つ閉曲線

この性質を持つ閉曲線というものは焦点を2つ以上持つものに限定されると思いますが
Wikipediaの解説では焦点を持つ曲線は円錐曲線に限られるようです。従って焦点を2つ持つのはだ円と双曲線のようです。双曲線は明らかに「一つの焦点から出た光は、反射して別の焦点に達する」ことはありません。

補足

僕の書き方が悪かったのか、誤解されるとは想定外でした。

平面上に閉曲線があり、平面上のある一点から出た全方向の光がその閉曲線に反射し、ある定点を必ず通った。
そのような性質を持つ閉曲線は、楕円以外にあるか？

というのが質問内容です。