微分と偏微分に関する問題と解答
- 微分と偏微分に関する問題について解答します。質問内容の要点をまとめると、x=a*sin^3t , y=a*cos^3tの微分や偏微分の値を求めたいということです。
- まず、dy/dxの値を求めると、dy/dx =-1/(sin^2 t)となります。次に、d^2y/dx^2の値を求めると、d^2y/dx^2 = - 1/3a*costとなります。
- 偏微分については、微分と同じ答えになると書かれていますが、それは正しいです。偏微分は、他の変数を一定の値として考えて微分を行うため、結果は同じになります。
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微分と偏微分の問題です
次の問題が与えられています。 x=a*sin^3t , y=a*cos^3tのとき、dy/dx,d^2y/dx^2、∂y/∂x,∂^2y/∂x^2を求めよ。 まず、微分の方なのですが、xとyをtで微分し、そこから式を進めて、 dy/dx =-1/(sin^2 t) が求まりました。 そして、 d^2y/dx^2 = - 1/3a*cost が求まりました。 これについて、まず、本当に正しいのかを添削してください。 間違っていましたら、ご解説をお願いします。 そして、偏微分についてですが、これはどのように回答していのが正しいのでしょうか。 「偏微分は微分と同じ答えになるので……」と、簡単に書いてしまって良いモノか悩んでいます。 以上、よろしくお願いします。
- douraku1122
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対補足 結果、1/(3*asin^3t*cost)になりました。 dy/dx = -1/tant を微分して、1/sint になるので、 ＞1/sin^2tです。 (d/dt)(dy/dx)(dt/dx)を解いての結果です。 これであっているでしょうか？ ＞1/(3*asin^4t*cost)です。 ＞dy/dx=-1/tant=-cost/sintだから d(dy/dx)/dt=(sin^2t+cos^2t)/sin^2t=1/sin^2t d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=(d(dy/dx)/dt)(dt/dx) =(d(dy/dx)/dt)/(dx/dt)=(1/sin^2t)/(dx/dt) dx/dt=3asin^2tcostだから d^2y/dx^2=(1/sin^2t)/(dx/dt) =(1/sin^2t)/(3asin^2tcost)=1/(3asin^4tcost)
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- yyssaa
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＞まずdy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-3a*cos^2tsint/(3a*sin^2tcost) =-cost/sint=-1/tant
補足
結果、1/(3*asin^3t*cost)になりました。 dy/dx = -1/tant を微分して、1/sint になるので、 (d/dt)(dy/dx)(dt/dx)を解いての結果です。 これであっているでしょうか？
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お礼
分かりました！ ありがとうございます。