昇格試験の問題がわかりません

質問

Ａ，Ｂ，Ｃ　本を販売しました。Ａは2,000円の本、Ｂは1,500円の本、Ｃは800円の本を販売し、3人で300冊を売上ました。3人の売上金額は401,000円でした。Ａの売上高はいくらですか。

回答No.4

178-tall

A, B, C の売上冊数をa, b, c とすれば、題意は、
　2,000a + 1,500b + 800c = 401,000　　… (1)
　a+b+c = 300　　　　　… (2)
ということですネ。

だとすると、(2) から c = 300-a-b 、これを (1) へ放り込んで、
　2,000a + 1,500b + 800(300-a-b) = 401,000
　1,200a + 700b = 161,000
　12a + 7b = 1610　　　… (3)
らしい。

たとえば「互除法」を使えば…。
　12a + 7b = 1610
　5a + 7(b+a) = 5a + 7b' = 1610
　5(a+b') + 2b' = 5a' + 2b' = 1610
　a' + 2(b'+2a') = a' + 2b'' = 1610
が行き止まり。
　a' = 1610, b'' = 0
を得る。

ここから逆行すると？
　　　　↓
　b' = -2a' = -3220 → a' = 1610, b' = -3220
　　　　↓
　a = a' - b' = 4830
　　　　↓
　b = b' - a = -8050
　　　　↓
特解 : a = 4830,　b = -8050
一般解 : a = 4830 - 7k,　b = -8050 + 12k　:　k は任意整数
…となるらしい。

答案には下表を書き連ねばならないノ？　(検算してみて)

　A　　　B　　　　　C
---　　　---　　　　---
133　　　2　　　　165
126　　　14　　　 160
119　　　26　　　 155
112　　　38　　　 150
105　　　50　　　 145
98　　　 62　　　 140
91　　　 74　　　 135
84　　　 86　　　 130
77　　　 98　　　 125
70　　　 110　　　120
63　　　 122　　　115
56　　　 134　　　110
49　　　 146　　　105
42　　　 158　　　100
35　　　 170　　　95
28　　　 182　　　90
21　　　 194　　　85
14　　　 206　　　80
7　　　　218　　　75
0　　　　230　　　70

回答No.3

gohtraw

No1です。追加です。
５の倍数であるｃの値を仮に決めた時、合計の売上金額が最大になるのは、
残り全てがAが売れた（Bは売れなかった）としたときです。言い換えると
ａ＋ｃ＝３００のときで、この時の合計売上は
８００ｃ＋２０００ａ＝８００ｃ＋２０００（３００－ｃ）
　　　　　　　　　　＝６０００００－１２００ｃ
これが４０１０００に満たないようなｃは解としては不敵です。よって
６０００００－１２００ｃ＞＝４０１０００
６０００－１２ｃ＞＝４０１０
１９９０＞＝１２ｃ
１６５．８＞＝ｃ　・・・（１）

同様に、ｃの値を仮にきめたとき、合計の売上金額が最小になるのは、
残り全てがＢが売れた（Ａは売れなかった）としたときです。言い換えると
ｂ＋ｃ＝３００のときで、この時の合計売上は
８００ｃ＋１５００ｂ＝８００ｃ＋１５００（３００－ｃ）
　　　　　　　　　　＝４５００００－７００ｃ
これが４０１０００を超えてしまうようなｃは解として不適です。よって
４５００００－７００ｃ＜＝４０１０００
４５００－７ｃ＜＝４０１０
４９０＜＝７ｃ
７０＜＝ｃ　・・・（２）
（１）および（２）より、
７０＜＝ｃ＜＝１６５　の範囲でｃに５の倍数を順次当てはめれば
いいと思います。

回答No.2

spring135

Ａ，Ｂ，Ｃの売上冊数をx,y,zとすると

x+y+z=300 (1)

2000x+1500y+800z=401000

両辺を1000で割って

20x+15y+8z=4010 (2)

(1),(2)を満たす整数x,y,zを求めれば良い。

(1)*15-(2)より

-5x+7z=490 (3)

5と7は互いに素なのでx=7u,z=5vとおくと

v-u=14

一つの解は

u=1,v=15すなわちx=7,z=75

よって

-5*７+7*75＝490　　　　　　　（4）

(3)-(4)より

-5(x-7)+7(z-75)=0 (5)

これより整数パラメータtを用いて

(x-7)/7=(z-75)/5=t

すなわち

x=7t+7 (6)

z=5t+75 (7)

y=300-(x+z)=218-12t (8) （(1)より）

x,y,zは正であるべきなので

0≦t≦18　　(t：整数)　　　　(9)

これを満たす解は18組ある。

t=0, x=7,y=218,z=75
.....

t=18, x=133, y=2,z=165

t=9,x=70,y=110,z=120が、最もすっきりしている。

回答No.1

gohtraw

一見、連立方程式でいけそうですが、未知数が三つあるのに
式は二つ（下記）なので、それだけではａ，ｂ，ｃの値を求めることは
出来ません。それ以外に条件を見つける必要があります。

それぞれの販売冊数をa,b,cとすると、
ａ＋ｂ＋ｃ＝３００　・・・（１）
２０００ａ＋１５００ｂ＋８００ｃ＝４０１０００　・・・（２）
という二つの式が立ちます。これより、
２０００ａ＋２０００ｂ＋２０００ｃ＝６０００００　・・・（１）’
２０００ａ＋１５００ｂ＋８００ｃ＝４０１０００　・・・（２）
として（１）’から（２）を辺々引くと
５００ｂ＋１２００ｃ＝１９９０００　となり、これより
５００ｂ＝１９９０００－１２００ｃ　であり、両辺を３倍して
１５００ｂ＝５９７０００－３６００ｃ
これを（２）に代入すると
２０００ａ＋５９７０００－２８００ｃ＝４０１０００
２０００ａ＝２８００ｃ－１９６０００
となります。

ここで左辺は２０００の倍数なので、その百の位はゼロになります。
一方右辺を考えると、その百の位はやはりゼロにならねばならず、
すると２８００ｃの百の位もやはりゼロです。従って、ｃは５の倍数
でなければなりません。

以降、ｃ＝５，１０，１５，２０、・・・を（１）と（２）にあてはめながら
ａおよびｂが整数になる（負になってはいけませんが）ところを
探すのでしょうか。