ベイズ推定 MAP検定 統計

質問

統計学を勉強している者です。
回帰分析を多少学習し、現在ベイズの定理について解説書で学習しています。

そこで、知識不足もありますが、よく理解できない問題があります。（添付画像参照）

複数の条件のもと、マラソン大会を実施するかしないかの確率を算出する問題です。
過去の記録が７つあり、判断基準は晴雨、温度、湿度、風を元に実施するか中止するかが決まります。

ここで、２つの疑問があります。

(1)判断基準は、複数ありますが、最も実施中止に影響するのが、晴雨の項目だと主観的に考えられます。この影響の度合いを考慮に入れなくてもよいのでしょうか？

(2)各判断基準に、互いに相関がある場合は、結果の数値に影響するのでしょうか？（本問題では互いに独立と仮定されています）

（補足）
本問題では、
尤度の算出は、当日の天候を元に、それぞれの実施確率、中止確率を算出し、４つを乗算して算出されています。
（晴雨の場合）実施4回のうち雨で実施が2回、中止3回のうち雨で中止が1回。
（温度の場合）実施4回のうち暖で実施が1回、中止3回のうち暖で中止が2回。・・・

事前確率は、全7回から実施4回、中止3回により算出されています。

最後に
(3)この問題に、「より直近の結果を重要視するものとする」といったような条件を付けて、算出することはできるのでしょうか？もしできる場合、どのような考え方で、計算をすればよいでしょうか？

質問ばかりになってしまい申し訳ありません。

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

マラソン大会を実施する確率 = f(晴雨, 温度, 湿度, 風)
というような関数を推定した方が良いのではないかとは思いますが、まあ、それは横に置いておきましょう。

> 尤度の算出は、当日の天候を元に、それぞれの実施確率、中止確率を算出し、

実施確率、中止確率ではありません。
実施（又は中止）したときの天気が雨である確率を求めているのです。

> (2)各判断基準に、互いに相関がある場合は、結果の数値に影響するのでしょうか？（本問題では互いに独立と仮定されています）

影響しますが、その場合推定できないこともあります。
ご質問の例ですと、

P(晴雨=雨,温度=暖,湿度=高,風=弱|実施=x) = P(晴雨=雨|実施=x)P(温度=暖|実施=x)P(湿度=高|実施=x)P(風=弱|実施=x)
（x = Y or N）
として計算していますが、相関があるということはこの計算ができないということです。
相関について何らかの仮定を置かないといけなくなります。

> (3)この問題に、「より直近の結果を重要視するものとする」といったような条件を付けて、算出することはできるのでしょうか？もしできる場合、どのような考え方で、計算をすればよいでしょうか？

重み付けして尤度を算出すれば良いのでは？
例えば、事例１～７の順に実施されたものとし、それぞれ重みを
1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 7/7(=1)
とします。
実施で雨の確率は重み付けなしですと
2/4 = 1/2
ですが、重み付けありでは
(0*3/7+1*4/7+1*5/7+0*7/7)/(3/7+4/7+5/7+7/7) = 9/19
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞実施確率、中止確率ではありません。
実施（又は中止）したときの天気が雨である確率を求めているのです。

ベイズで最も重要な、事後確率、尤度、事前確率の定義づけの説明が足りていませんでした。申し訳ございません。
ご指摘の通り、尤度は、実施（又は中止）したときの各天候である確率です。

> (2)
>相関があるということはこの計算ができないということです。
>相関について何らかの仮定を置かないといけなくなります

知識不足で大変申し訳ございませんが、計算ができないとはどういう意味でしょうか？
よろしければ、ご教授お願いいたします。
本問題では、各天候条件が同時確率のため乗算で尤度を算出しているみたいです。

> (3)
>重み付けして尤度を算出すれば良いのでは？

大変勉強になりました。重みづけの考え方は、試していきます。

ありがとうございました。

回答No.4

noname#227064

回答No.3お礼
> 温度が暖かいという情報だけ、公開されていることがいまいちわかりませんでした。

混乱させてしまい、すみません。
そこは消し忘れです。
正しくは、
P(晴雨,温度|実施=x) = P(晴雨|実施=x)P(温度|実施=x)
です。

回答No.3

noname#227064

回答No.2お礼
> 知識不足で大変申し訳ございませんが、計算ができないとはどういう意味でしょうか？

話を簡単にするために、晴雨と温度のみに限定します。

[実施]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　０　　０　　０　　０
曇　　１　　０　　１　　２
雨　　０　　１　　１　　２
計　　１　　１　　２　　４

[中止]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　２　　０　　０　　２
曇　　０　　０　　０　　０
雨　　０　　０　　１　　１
計　　２　　０　　１　　３

という情報が既に得られています。
P(晴雨,温度|実施=x) = P(晴雨|実施=x)P(温度=暖|実施=x)
として良い場合、先の情報からそれぞれの尤度は次のように計算されます。

[実施]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　０　　０　　０　　０
曇　　1/8 　1/8　 1/4　 1/2
雨　　1/8 　1/8　 1/4　 1/2
計　　1/4　 1/4　 1/2　 1

[中止]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　4/9　 ０　　2/9　 2/3
曇　　０　　０　　０　　０
雨　　2/9　 ０　　1/9　 1/3
計　　2/3　 ０　　1/3　 1

しかし、
P(晴雨,温度|実施=x) = P(晴雨|実施=x)P(温度=暖|実施=x)
が成り立たなければ、

[実施]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　０　　０　　０　　０
曇　　a　　 b　 1/2-a-b 1/2
雨　 1/4-a 1/4-b　a+b　 1/2
計　　1/4　 1/4　 1/2　 1

[中止]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　c　　 ０　 2/3-c　2/3
曇　　０　　０　　０　　０
雨　 2/3-c　０　 c-1/3　1/3
計　　2/3　 ０　　1/3　 1

となり、a,b,cは0≦a,b≦1/4、0≦c≦2/3を満たす組み合わせから選ぶことになりますが、どの値が最適と思われますか？
（これが何らかの仮定が必要ということです）

十分な情報が得られていれば、それぞれの頻度を使うという手もあるでしょう。

[実施]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　０　　０　　０　　０
曇　　1/4　 ０　　1/4　 1/2
雨　　０　　1/4　 1/4　 1/2
計　　1/4　 1/4　 1/2　 １

[中止]
　　　温度
晴雨　暖　　適　　冷　　計
晴　　2/3　 ０　　０　　2/3
曇　　０　　０　　０　　０
雨　　０　　０　　1/3　 1/3
計　　2/3　 ０　　1/3　 １

さて、この場合事後確率を計算できますか？

お礼

ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

正直に申し上げますと、なかなか理解することが出来ませんでした。（汗）

>P(晴雨,温度|実施=x) = P(晴雨|実施=x)P(温度=暖|実施=x)

この式が、仮定を意味しているのでしょうか？
温度が暖かいという情報だけ、公開されていることがいまいちわかりませんでした。

尤度の算出については、理解できたものの、その後のa,b,c　等についてもいまいち理解できず、、、、

まだまだ知識が足りないようなので、もう一度体系的に学習して、振り返ってみることにします。

ご親切にご回答を下さり、ありがとうございました。

回答No.1

kamiyasiro

企業でsqcを推進する立場にある統計家です。

興味深い問題で、今、取り組んでいるところです。
(1)重みを考慮することはあります。

(2)当然、相関があれば、出現しない（低頻度の）事象が出てきますので、
起こりうる事象の確率は上がります。
でもこれは、学習の結果出てくる分布として考慮されていると思います。
あるいは、空間を直交でなく角度を付けるのかなあ？
それが分かりません。

(1)(2)は、多項のディリクレ分布を使って解く問題でしょうが、
(3)は違うと思います。
ここが分からない点です。

ところで、map検定って聞いたことが無い検定法ですが、
どんな検定統計量を用いるのですか？

それとも、地図の知識を問う、趣味の話？
だとしたら、数学のカテで紛らわしい言葉使わないで下さいね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>学習の結果出てくる分布として考慮されていると思います。
私もこの周辺の内容が、非常にあいまいで、腑に落ちない状況でいます。

>3)は違うと思います。ここが分からない点です。
quaestioさんから頂いた、ご回答のように、(3)も重みづけの考え方で、うまくいきそうな気がします。

>map検定って聞いたことが無い検定法ですが、
正確には、MAP決定、MAP推定でした。最大事後確率推定法（Maximum a posteriori estimation method) とうものらしいです。

ご回答ありがとうございます。