ｘについて解く分数式の方程式についてです。

質問

方程式ｘ（ｘ－１）＝０の解はｘ＝０、１で、ｘ－１の係数ｘをｘ≠０とおいてｘで割る事は出来ないですが、｛2x(x^2-6)｝/｛(4-x^2)√(4-x^2)｝=0の場合は～について解くの～が含まれている｛(4-x^2)√(4-x^2)｝を割る（この時ｘ≠２ですよね。）ことは出来て、２ｘの部分を割れない（この時ｘ≠０とする。）んですか？

回答No.1

thetas · ベストアンサー

まず、方程式ｘ（ｘ－１）＝０において、「ｘ－１の係数がｘ」が、解きにくい要因があるように思います。
それは、「AB=０」と必要十分条件は、「A-0またはB=0」なので、「ｘ（ｘ－１）＝０」の必要十分条件は「x=0または(x-1)=0」、つまり「x=0またはx=1」です。

つぎに分数式の方程式ですが、
例えば、x(x-1)/(x-2)(x-3)=0
という方程式がある場合、
分母の(x-2)(x-3)は0ではないので、ｘ≠2かつｘ≠3です。
そして、方程式の両辺に(x-2)(x-3)をかけても、ｘ≠2かつｘ≠3という条件のもとでは、必要十分条件であり、x(x-1)=0が得られます。
よって、もとの方程式の解は、x=0,1となります。

質問の方程式についても同様に考えられたらよいのではないかと思います。

お礼

ありがとうございます。
おかげ様で分かりました。助かります！
高校数学において、問題での与式はどう変形しても成り立つ（そのままの与式や式変形した際に分母が発生した場合分母は暗黙の了解的に（分母）≠０という条件があるわけですね？）という事ですね？

回答No.2

stomachman

横入り失礼。

> 高校数学において、問題での与式はどう変形しても成り立つ（そのままの与式や式変形し
> た際に分母が発生した場合分母は暗黙の了解的に（分母）≠０という条件がある

という理解は間違いです。高校数学に特有の暗黙の了解、なんてもんじゃありません。

　たとえば「方程式x((x^2)-4)/((x-2)(x-3))=0 」というのは、与式を満たすようなxの集合X
　　X = { x |x((x^2)-4)/((x-2)(x-3))=0 } ∩ (変数の定義域)
を指しているんです。つまりXはこの方程式の解の集合に他なりません。
　「(変数の定義域)」という集合は、xを選べる範囲を指し、たとえば実数全体だとか、複素数全体だとか、四元数全体だとか、自然数全体だとか、正の有理数全体だとか、素数全体だとか、自然数を7で割った余りの全体だとか、…本来は明示すべきものですが、しばしば話の文脈から暗黙裏に指定されます。ここでは、たとえば複素数全体Cなのだとしましょうか。

　そして、「方程式を解け」というのは、「Xの要素を(できるだけ)具体的に並べてみせろ」ということです。

　さて、2や3をxに代入してみれば、分母が0になっちゃうので式を満たさない。だから、2と3がXの要素ではないことがわかります。すなわち、「x∈X ならば x≠2 かつ x≠3」である。
　つまり、Xの要素であるようなxについてだけ考察する際には、2と3は除外できる。ここがポイントです。

　以上をまとめると、
　　X = { x |x((x^2)-4)/((x-2)(x-3))=0かつ x≠2 かつ x≠3 かつ x∈C }
が成立つ。なので、何の心配もなく分母を払うことができて
　　X = { x |x(x+2)/(x-3)=0かつ x≠2 かつ x≠3 かつ x∈C }
も成立つし
　　X = { x | x((x^2)-4) =0 かつ x≠2 かつ x≠3 かつ x∈C }
も成立つ。いずれにせよ
　　X = {x | (x=-2 または x = 2 または x= 0) かつ x≠2 かつ x≠3 かつ x∈C }
であることが分かります。
　だから
　　X = {x | x=-2 または x=0 }
である。つまり
　　X = {-2, 0}
です。これで「解けた」ってことになるわけです。

　普通はこんな風には書かないですよね。でもそれは、いちいち X = { x | … } を書くのを省略しているに過ぎません。その省略の報いがあからさまになるのが、
　　x = -2, 0
という訳の分からんコタエの書き方です。これで良しと言うのは本来おかしな話で、このコンマは一体どういう意味なのか、と悩んじゃう人こそがマトモです。もちろん、
　　X = {-2, 0}
あるいは　
　　X = {x | x=-2 または x=0 }
と書けばその意味は明確です。（こう書くためには、「Xを与えられた方程式の解の集合とする」と断っておかねばなりませんが。）

お礼

ありがとうございます！
なるほどです 、大体理解できたと思います。
別の角度(論理学？)から見えました!