数IIです。a≧０の時n√aはｎの値が大きくなるに

質問

従い大きくなる。
a＜0の時
n√aはｎの値が大きくなるに従い小さくなる。

で合ってますか？

回答No.1

umigamitaiyo · ベストアンサー

a＜0の時って、√aは虚数になる。
　大昔、虚数や複素数には大小はないと習ったがなぁ…

お礼

ありがとうございます。
虚数は皆同じ値という事ですか？

回答No.5

noname#212313

#4です。

>p<q のとき
>1<a　では（グラフはｘの値が上がるに従って右上がりとなる。）　a^p < a^q
>0<a<1では（グラフはｘの値が上がるに従って右下がりとなる）　a^p ＞a^q
>で、等号が逆だと思います。

　回答、読んでもらっているのでしょうか？　私はこう書いたのです。

>m, nをm＜nなる、1以上の自然数とします。
>
>１．a≧1のとき
>∴a^(1/m)≧a^(1/n)
>
>２．0＜a＜1のとき
>∴a^(1/m)＜a^(1/n)

　0＜m＜nなんですから、0＜1/n＜1/mですよね。お示しの記述に対応させるなら、1/n=p, 1/m=qです。何も相違がありませんよね。

　私の書いたことを逆に捉えたのは質問者様です。簡単に分かる反例を探さない様子だったので、おどけて見せたのは最初だけです。そこで単に「自分でも確かめたけど逆ですよね」等とだけ仰るなら、「これはしまった、間違えました」と言ってお詫びし、成り立たないことが確認されたのを見届けて終わるつもりでした。

　しかし、追加で考えられる全ての場合も考慮しようとされたので、それを調べるシンプルな方法を提示したのです。それは間違えて見せても思いつくことではないかもしれないから、そこからは冗談抜きでお示ししました。

　正の自然数は、乗法の逆数（自然数を分母とする分子1の分数）を取れば、大小が逆転することは分かるはずです。お示しした式をきちんと見て頂ければ、そういう逆数を使ったことも分かるはずです。質問者様が書いた式との対応も分かるはずです。

　そうなさらなかったのは、最初に質問されたのと同じく、手抜きです。考えなかった。読んでいただけない、考えないのでは、いくら回答を書いても仕方ありません。これで打ち切ります。また、そのIDを見たときいはご質問に答えるのは今後は控えるようにします。

　以上です。

お礼

ありがとうございます。

すみません、ミスってました。

m, nをm＜nなる、1以上の自然数とします。
１．a≧1のとき
∴a^(1/m)≧a^(1/n)

２．0＜a＜1のとき
∴a^(1/m)＜a^(1/n)
の形も単純なa^p型と分けて丸暗記した方が良さそうですね。

＞正の自然数は、乗法の逆数（自然数を分母とする分子1の分数）を取れば、大小が逆転することは分かるはずです。お示しした式をきちんと見て頂ければ、そういう逆数を使ったことも分かるはずです。質問者様が書いた式との対応も分かるはずです。

確かに、考え的に間違えていましたが知識不足によるものですよ？

知識力を思考力と見ないで貰いたい所です。

確かに正直に今の知識では理解できないというべきでした（証明などは難しくて理解出来上ない所はありますが、ある程度知識がついた時（１ヶ月後など）に再度読もうとしているんですよ？）。

補足

どうやらa^xのｘが分数式系はｐ、ｑと置く所までが【】内と違うようです。
【a>0, a≠1の場合について考えると
p<q のとき
1<a　では（グラフはｘの値が上がるに従って右上がりとなる。）　a^p < a^q
0<a<1では（グラフはｘの値が上がるに従って右下がりとなる）　a^p ＞a^q】

m, nをm＜nとなる、1以上の自然数とすると、
この時(1/n)＜(1/m)なる。 (1/n)＝p、(1/m)＝qと置くとｐ＜ｑで［１］と同じように考えられる（ｐ，ｑで表すまでだけが［１］と違う所。）。
１．a≧1のとき
a^p＜a^q
２．0＜a＜1のとき
a^p＞a^q

回答No.4

noname#212313

#3です。

　反例を使って成り立たないことだけ示すのではなく、全体で大小関係がどうか調べるなら、例えば対数を使えば、そんなに難しくないんですよ。0の0乗や虚数の問題を避けるため、a＞0とし、（先述した場合分けの多さをとりあえず避けるため）m, nをm＜nなる、1以上の自然数とします。

１．a≧1のとき

　log(a)=log(a)
∴n・log(a)≧m・log(a)　（∵log(a)≧0）
∴log(a)≧(m/n)・log(a)
∴(1/m)log(a)≧(1/n)・log(a)
∴a^(1/m)≧a^(1/n)　（対数関数を指数関数にした）
∴m√a≧n√a

２．0＜a＜1のとき

　log(a)=log(a)
∴n・log(a)＜m・log(a)　（∵log(a)＜0）
∴log(a)＜(m/n)・log(a)
∴(1/m)log(a)＜(1/n)・log(a)
∴a^(1/m)＜a^(1/n)　（対数関数を指数関数にした）
∴m√a＜n√a

　この方法ですと、n, mが負の整数の場合でも同様にできます。ご興味があればやってみてください。

お礼

ありがとうございます。対数関数でも分かるんですね。
すみません。
指数関数の最も基本的なグラフに代入していって理解出来ますが、
a>0, a≠1の場合について考えると
p<q のとき
1<a　では（グラフはｘの値が上がるに従って右上がりとなる。）　a^p < a^q
0<a<1では（グラフはｘの値が上がるに従って右下がりとなる）　a^p ＞a^q
で、等号が逆だと思います。

回答No.3

noname#212313

#2です。

>例：n=1の時n√a＝a、n=2の時n√a＝√a、a=5とするとa＞√aですから。

　その通り。#2がおかしいなと思って（その直感、当たっています）、aとnに実際の値を入れて（反例になりそうな値を選んでいてセンスいいですが、a=4などだともっと簡単）、どうなのか調べてみたわけですね。すると簡単に反例が見つかった。最初からそうすればよかったんですよ。

お礼

ありがとうございます。
そう覚えても問題を解く上で大丈夫そうなんですが・・。
ｎ√aはa^（1/n）と指数関数ですから、右上がりの時と右下がりの時があります。
教材のグラフを元に考えました。
http://okwave.jp/qa/q8785408.htmlそのグラフとは（５）のグラフ。
この質問の完璧な答えとして、
m√a, n√a = a^(1/m)、a^(1/n)　ということを踏まえて整理すると
a>0, a≠1の場合について考えると
p<q のとき
0<a<1　では　a^p > a^q
1<a　では　a^p < a^q
となるようです。

回答No.2

noname#212313

n√aは、「aのn重根」と読むことが多いのですが、a^(1/n)「aの1/n乗」ということです（aのb乗は、a^bとよく書き、エクセルなどでも使える記法）。

　a=0のときは、どんなnについてもn√a=a^(1/n)=0、同様にa=1のときはなのはn√a=a^(1/n)=1、どちらも明らかなので、考察からいったん除外します。

　まず、a＞0のときです。

　n=1とn=2で考えてみましょう。aと√aということですね。考えやすいかもしれないので、b=√aと置いてみます。a=b^2（bの2乗）とbを比較することになりますが、0＜b＜1ではb＞b^2ですね。aに戻せば、√a＞aです。

　同様に考えると0＜a＜1では、n=3, 4, 5, …とnが増えても常に、n√a＞aであることは分かると思います。

　さらに同じように考えて、a＞1なら、a＞n√aです。

　a＞1なら成り立つのですが、a≧0の範囲にしてしまうと、0＜a＜1で成り立たないのです。従って、a≧0では常に成り立つとはいえません。

　なお、nについては注意が必要です。nが整数だとすると、n＜0のとき、n√a=a^(-1/n)=1/{a^(1/n)}となります。0の0乗という未定義のものも考慮する必要があります。設問を見ていませんが、おそらくそこまで場合わけしたややこしいことは問わないでしょうから、設問はnを増える方向で考えさせたいようですから、nは1以上の自然数だと、この回答では考えておくことにします。

　a＜0のときは、nが偶数だとn√aは虚数になります。虚数や複素数は普通は大小関係を考えません。ですので、ここまで考えた時点で「大小関係が常に成り立つとは言えないので、題意は成り立たない」としてもいいです。

　しかしもし「a＜0のときは、nは奇数のみとする」というような条件があった場合、n√aは負の実数の値になりますので、大小関係を考えることができます。

　a＜0、nは奇数、とした場合、n√a=-n√|a|（|a|はaの絶対値）ですから、a＞0の場合で符号が逆の場合を考えればいいわけです。符号が逆だと大小関係も逆になります。

　ということは、0＜a＜1で考えたときには題意が成り立たなかったのですから、-1＜a＜0では題意が成り立つことになります。逆にa＞1なら題意が成り立っていたのですから、a＜-1だと成り立たないことになるわけです。

　ということは、nを奇数に限っても、題意は成り立ちません（その他、aの絶対値を限定しても成り立たない）。aが正であろうが負であろうが、題意はどうやってみても成り立たないことが分かります。

お礼

ありがとうございます。
a≧０の時n√aはｎの値が大きくなるに従って小さくなるという事んですか？
例：n=1の時n√a＝a
n=2の時n√a＝√a
a=5とすると
a＞√aですから。