座標平面上での角度（交角）の捉え方

質問

（１）座標平面上ではｘ軸の正方向を基準としてそこから左まわりを正、右まわりを負とすると考えてよろしいでしょうか？

（２）座標平面上での角度（交角）を捉えるときに注意するべきことがわかりません。（独学中なので、教えてください)
（３）具体的な問題では図の直線APとｘ軸の正方向のなす角の大きさを求めよ。
ただし、ベクトルAP,AQのなす角を５/6πとする。
（ベクトルのなす角は数B の内積の部分で扱いましたがこれも（１）のように、左まわりを正とするのかと思いましたが０≦θ≦πの範囲で考えるとあるだけでした。どう考えるのでしょうか?）
問題集の答えでは３/2πー５/6π＝２/３πとあります。
僕は５/６πーπ/2＝π/３として、πーπ/３＝２π/３としましたがうえの（１）（２）のことがはっきり分かっていないので、確信が持てませんでした

回答No.2

stomachman

（１）: どの方向を0(基準)にするかは自由。また、まわる向きは逆でも全然問題ない。ただし、どっちを0にするか、どっち廻りを正にするかを決めたら、以後、それに統一する必要があるんです。さて、どう決めても全然問題ないということは、どう決めても結論は変わらないということ。ですから、決める必要がある場合には、（１）で仰っているように決めるのが習慣として普通である。別に「完全に正しい」ということではなくて、「そう決めても構わない」というだけのことですが。

　しかしですね、ご質問の（３）のように「2つのベクトル同士がなす角度」を尋ねる場合なら、どの方向を0(基準)にするかを決める必要などそもそもない。

（２）：「捉える」とは何のことか不明なので、これは無視します。

（３）：「ふたつのベクトルa, bがなす角度をθとする」と言われたら
　　a・b = |a||b|cosθ
である。でもこれだけだと、「ふたつのベクトルa, bがなす角度θ」は
　　cosθ= ((a・b)/(|a||b|))
を満たす無限個のθのうちのどれかだ、ということしか決まらない。だから、「ふたつのベクトルa, bがなす角度をθとする」という表現では、ゲンミツには角度を言ったことになってません。
　間違いがない言い方をするためには「ふたつのベクトルa, bがなす角度をθとし、ただし０≦θ≦πであるものとする」と言わなくちゃ。
　ですが、「ある方向と、それと直交する方向がなす角度は？」と尋ねられたときに「-810°」と答えるのは（間違ってはいないが）相当のへそ曲がりである。０≦θ≦πの範囲で答えるのが暗黙裏の習慣です。つまり、「ただし０≦θ≦πであるものとする」が省略されているものと思って読むのが宜しかろう。
　さて、恒等式
　　a・b = b・a
から分かるように、「ふたつのベクトルa, bがなす角度をθとし、ただし０≦θ≦πであるものとする」ということは、「ふたつのベクトルb, aがなす角度をθとし、ただし０≦θ≦πであるものとする」と全く同じである。（ご質問の場合、「直線APとｘ軸の正方向のなす角の大きさ」は「ｘ軸の正方向と直線APのなす角の大きさ」と同じ。）つまり、どっち回りに測るかということとは関係なく、θが決まります。

　というわけで、（３）の問題に関して言えば、（１）の話は全く無関係です。

補足

２つのベクトルa.bのなす角はどちらの方向へまわっているかを考慮しないというのはわかりました。
しかしながら、たとえば、２つのベクトルOA,OBのなす角がπ/３とします。
このとき、OA,OBを座標平面上に図示したとき、Aが第1象限にBが第４象限にあるとします。
何らかの方法で、OAとx軸の正方向のなす角がπ/６だとわかったとします。
そのさい、ｘ軸の正方向とOBのなす角を考える際は時計回りだということを考慮してーπ/６とこたえなければならない。つまり、ベクトルのなす角はいわば一般の図形のようにまわる方向を考慮しないが、座標平面上に乗せたとき、座標平面上の角の測り方にのっとってかんがえるのでしょうか？

回答No.1

spring135

１）座標平面上ではｘ軸の正方向を基準としてそこから左まわりを正、右まわりを負とすると考えてよろしいでしょうか？

完全に正しい。つまりx軸のような水平の線を0にとり反時計回りに角度を数えます。

２）座標平面上での角度（交角）を捉えるときに注意するべきことがわかりません。（独学中なので、教えてください)

1）をしっかり守ることです。

３）具体的な問題では図の直線APとｘ軸の正方向のなす角の大きさを求めよ。
ただし、ベクトルAP,AQのなす角を５/6πとする。
（ベクトルのなす角は数B の内積の部分で扱いましたがこれも（１）のように、左まわりを正とするのかと思いましたが０≦θ≦πの範囲で考えるとあるだけでした。どう考えるのでしょうか?）
問題集の答えでは３/2πー５/6π＝２/３πとあります。

完全に正しい。

赤い線の右端をRとすると直線APとｘ軸の正方向のなす角＝∠PAP＝∠RAQ-∠PAQ＝3π/2-5π/6＝2π/3

>僕は５/６πーπ/2＝π/３として、πーπ/３＝２π/３としましたがうえの（１）（２）のことがはっきり分

赤い線の左端をSとするとあなたのやっていることは

∠PAS＝５/６πーπ/2＝π/３を求めたのち

∠RAP=∠RAS-∠PAS＝πーπ/３としているのであって、回りくどいがあっています。

水平線から計るという原則を守れば機械的に迅速かつ正確に図れるということです。