電磁誘導について

質問

ある物理の参考書に、電磁誘導による起電力はローレンツ力によるものだとして説明している図があります。
スキャンするには少し汚いので、自分で大体の図を書いてみましたが、これをアップロードしようとしたらOKwaveの都合で出来ませんでした。しかし、下の私の質問でそのような図は比較的容易に想像していただけるものと思います。この説明にはどうしても理解できないところがあるので、ご存知の方はどうか詳しく説明していただけるとありがたいです。ローレンツ力云々の部分は気にしていませんが、起電力の発生するメカニズムを理解したいのです。

まず、磁石のN極とS極で囲まれた磁界内にコの形をした導体が置かれていて、その上に直線上の導体があります。このままだと電圧は発生しないのですが、一定の速度Vで直線導体を動かしてやると電圧が発生するとあります。
それは、コ形と直線状の導体がコイルを形成し、直線導体を動かすことによって、そのコイルの面積が変化するので、コイルを貫く磁束（磁束密度Bx面積）も変化し、その結果、ファラデーの法則によって　V=-ΔΦ　/Δt　の電圧が誘導されるということになっています。

この説明以前に、導体に磁石を近づけると起電力が発生することが説明されています。これは、磁界の中にただ単に導体を置いているだけではなく、磁石を近づけることによって磁界の強さが変化しているのだから理解できる説明です。
しかし今の問題はどうも納得いきません。

コ形の導体は磁界内に置かれているだけなので起電力には何も貢献しないと思います。
だからコイルの起電力に貢献するのは動いている直線導体だけのはずです。しかしこの導体は磁束密度が一定の磁界内を等速直線運動で移動しているので、つまり導体と交差している磁束には変化がないので起電力など発生しないような気がします。
しかし参考書には、上に書いたとおり、コイルを貫く磁束が変化するので電圧が発生するとなっています。
どうも腑に落ちなくて、困っています。
どなたかよろしくご教授下さい。

回答No.8

utikawa2000

前回、「世に出回っている参考書」と書きましたが，ウェブサイトというはるかに影響力のある情報媒体を忘れていました．

No.6さんの回答にあった参考サイトをチラリと見ましたが，あー，やっぱりここでも．

STAP細胞があるかないかの騒ぎの中で，無いという証明は悪魔の証明で不可能，などとマスコミが言っていました．
しかし物理学では，現象が物理法則や原理に違反することが示されれば，その現象は無いという証明が出来たことになります（たまに，それまでの物理法則を破る現象の発見から，われわれの新しい認識が得られたということもありますが）．しかし熱力学第一法則、第二法則，電荷保存則等の原理を破ることは絶対に許されません．したがって，物理現象の説明や証明をするにあたっては，物理の法則や原理と矛盾するような論理展開があってはいけません．

1. 磁場は荷電粒子に仕事をしない．
2. 系に仕事をすればその仕事量だけ系のエネルギーは増加する（系が仕事をすればその仕事量だけ系のエネルギーは減少する）．

これらは互いに独立な法則でどちらも正しい．1.と2.から，ローレンツ力は系のエネルギーを変化させないという結論が出てきます．この結論は正しい．したがって，参考URLの説明は原理的に間違い．

では一定磁場の中に置かれたコの字型レールの上をスライドさせた導体棒に起電力が現れる（系のエネルギーが増加する）のはなぜか．それは，われわれが導体棒を一定の速度vを保つように動かしている，この棒を動かす力が系に仕事を行うからです．2.によれば，起電力が生じるためには電荷に向かって仕事がなされなければなりません. 電荷になされる仕事を求めるには，電荷に働く力を知る必要があります．この力は

（電荷に働く力）＝（磁場が働きかける力）＋（棒をvで引っ張る力）　─── (A)

の二つです．(A)の右辺の磁場から働く力はいわゆるローレンツの力で，磁場の大きさBと電荷qの速度u（vではありません！）を使って表せます．大きさはquBで，向きは速度ベクトルuに直交．電荷は棒といっしょにvで動くと同時に，棒の中を一方のレールから他方へ向かってvと直交する向きに動かなければなりません．したがって、電荷の速度ベクトルuは，これら二つのベクトルのベクトル和で，棒の方向とレールの方向の中間の向きを取ります．(A)の右辺第一項のローレンツの力は速度ベクトルuと直交するので，やはり，棒の方向とレールの方向の中間を向きます．

一方，(A)の右辺の第二項の力はレールと平行．

これら二つの力のベクトル和を求めると、大きさがqvBで，導体棒に沿った向き（レールと直角）の力が得られます．この力の行う仕事が，起電力vBLを生み出しているのです．起電力を求めるのに，磁場から働く力（ローレンツ力）だけで説明してはいけません．

論理の筋道を書きましたので，図を書きながらぜひ自分で計算してみて下さい．

元々の質問には前回すでに回答しましたが，参考URLを覗いたことからつい脱線してしまいました．悪しからず．

回答No.7

noname#221368

以下は回答ではなく、#5さんへのコメントです。なので読んじまった場合は、自分で考える必要に迫られます。

　#5さんへ。

＞・・・これを，電荷に働くローレンツ力で説明してあるのを見かけますが全くの間違いです．・・・

ではないと思いますよ。

＞・・・力学にはエネルギー原理という重要な法則があります・・・エネルギー原理は，外部から系に行った仕事が系のエネルギー増加量に等しいことを主張しています．したがって，導体棒に生じた起電力は棒を引っ張っている外力が原因で生じたものです．実際，この外力が行う仕事量を計算しますと求める結果vBLが得られます．　　　(1)

　全く正しいです。しかし次は違う。

＞・・・そもそも、磁場は荷電粒子に仕事をしませんから・・・

　確かに直線導体の速度v方向に磁場は仕事をしません。しかしその直角方向には仕事をします。それがローレンツ力の方向であり、それは電流の進行方向です。だから磁場は荷電粒子に仕事をします。だから荷電粒子は動き、電流が流れます。

　v方向に力が生じないというところが、力学を信じ切っていた19世紀の研究者達の驚きの的でもありましたが、磁場は電流方向に荷電粒子に対して仕事をし、その仕事は回路抵抗によって失われるので外力をかけ続けねばならず、(1)が成り立ちます。

　ローレンツ力は、誘導起電力の原因ですよ。

　しかしローレンツ力は力学的な力であって電場ではない。だとすればそれによる電子の挙動だけを見て、それが電場によるものであるかのように、誘導起電力の発生を認めても良いものだろうか？。

　この疑問を19世紀の研究者たちは、あまり問題にしなかったようです。というのは彼らには、全ては力学機構によって解決できるという信念があったからです。

　現在では、我々の立場ではローレンツ力を受けているに過ぎない当の荷電粒子自身にとって、物理的な現実として電場が存在していると言い切ったのは、特殊相対性理論です。

回答No.6

teppou

質問文に矛盾があるように感じて回答を躊躇しておりましたが、すごい回答も出たことですので、頑張って回答してみます。

　まず物理学の原則的なことから。
　物理学と言うものは、一般相対性理論を除いて実験・観測の結果をどのように記述するか、という学問なのです。
　まず、実験・観測があります。それをできるだけ広い範囲に適用できるように記述・数式化をします。
　納得感を得たいという気持ちは分かりますが、突き詰めていくとどこかで、それが自然の性質ですということにいきつきます。

　電磁気学黎明期には、実験・観測の結果が力学に比べると複雑で、いろいろな説明がなされました。
　その説明の究極が、マクスウェル方程式なのですが、これはなかなか理解しがたいでしょう。
　比較的分かりやすく、よく説明できる考えが、ローレンツ力によるものだと思います。
　それ以外の説明も有効なのですが、状況によれば適用できないこともあります。

　御質問内容の、磁界内のコの字型導体と直線導体の運動の件ですが、いろいろな説明ができます。
　直線導体を動かさずに、磁石を近づける場合には、起電力が発生するということを納得できるとして、磁石を固定して直線導体を動かすと、回路内を通過する磁束が変化するので起電力が発生することが理解できないということのようですが、例えば面積が広くなる方向に直線導体を動かすと、回路内の磁束が増えるので磁石を近づけたのと同じ効果になります。これでは納得できないでしょうか。
　違う説明をしますと、直線導体を動かすと、導体内にある原子が動きます。原子は電子と原子核からなり、それぞれマイナスとプラスの電気を持っています。つまり磁界内で荷電粒子が運動します。原子核は導体内で移動することはありませんが、電子は自由電子ですので、移動します。つまり起電力が発生します。
　確かに「電界は荷電粒子に対して仕事をしない」のですが、力は及ぼすのです。
　もう少し複雑な説明をしますと、導体が動くと電子と原子核が動きます。これは電流が流れるのと同じです。電子と原子核の周りに円形の磁界ができます。お互いに打ち消し合う方向なのですが、それぞれの磁界は磁石が作る磁界と重なり合って、磁束の濃淡ができます。その磁束の濃淡が平均化する方向に起電力が発生します。
　これらの説明は、こういう説明もできるということであって、常にこう考えるべきというわけではありません。
　勉強が進めば、いろいろな状況で複数の考え方ができ、適切な方法を選ぶことができるようになるでしょう。
　理解とか納得とかいう言葉を使っていますが、先に実験・観測の事実があるということを忘れないでください。

　参考になりそうなURLを貼っておきます。

　http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/64/6413dennjiro-renn.html

参考URL：

http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/64/6413dennjiro-renn.html

回答No.5

utikawa2000

世に出回っている参考書には間違った記述が多く見られますので，これらを正す意味で以下で解説します．

まず、この現象を正しく理解するには，力学と電磁気学とをはっきり区別して下さい．高校ではこの辺りははっきりしません．

ローレンツ力が現れるときはたとえ電場や磁場が顔を出していても《力学》現象です（「力」という字が出てるでしょ）．ローレンツ力は運動する荷電粒子に電場と磁場が働きかける力を言います．ローレンツ力では電場と磁場は前もって与えられています．以下では電場が出てこないので磁場からの力をローレンツ力とよんでおきます．

一方，《電磁気学》は電場や磁場の時間的空間的振る舞いを考察する分野です．電場や磁場は未知の量です．ファラデーの電磁誘導の法則を除いて，高校物理では多分電磁気学は出てこないでしょう．

実験によれば，一定の磁場Bの中に置かれたコの字型のレールの上を一定の速さvで長さLの導体棒を移動させると棒の両端にvBLの起電力が生じます．これを，電荷に働くローレンツ力で説明してあるのを見かけますが全くの間違いです．そもそも、磁場は荷電粒子に仕事をしませんからローレンツ力によって起電力が生じることなど絶対にありません．このことは，vBLのvが棒の移動するスピードであって，電荷の速度でないことを見ても明らかです（vを電荷の速度と書いてある本があれば落第．電荷は，vで移動する導体棒の中を棒に沿ってレールの一方から他方へ運動しています）．それでは何が原因で起電力が生じたのかと言いますと，全く力学的な原因によります．力学にはエネルギー原理という重要な法則があります（この法則はニュートンの運動方程式から何の仮定も用いずに直接導きだすことが出来ます．大学の初等力学で習います）．エネルギー原理は，外部から系に行った仕事が系のエネルギー増加量に等しいことを主張しています．したがって，導体棒に生じた起電力は棒を引っ張っている外力が原因で生じたものです．実際，この外力が行う仕事量を計算しますと求める結果vBLが得られます．

電磁気学にはファラデーが発見した電磁誘導の法則があります．この法則は電場と磁場の関係を与える電磁気学の基本法則の一つです．
（誘導起電力）＝ー（磁束の時間変化率）　　───　(A)
この式を使っても導体棒に誘起される起電力を正しく求めることが出来ます．多分演習問題に出ていたでしょう．電磁気学の法則（ファラデーの電磁誘導の法則）を使って力学現象が説明できるのです．その理由は分りません．

質問に「コイルを貫く磁束が変化する」とありますが、この具体的内容を以下の説明を参考にして理解して下さい．

電磁誘導の法則で右辺の磁束は磁場を面積分したものです．あるいは，(磁場B)x(面積)としてもかまいません．注意してほしいのはファラデーの法則に現れる磁場は時間変化する磁場です．磁束の時間変化は磁場の時間変化に起因しています．

ところが、上で考えた《力学現象》（磁場の中でスライドする導体棒）では，磁場は時間変化のない一定磁場です．このとき磁束を考えると，導体棒が運動しない時にはロの字の閉回路の磁束は一定です．導体棒が動くと磁場は一定であるけれどもロの字の閉回路の面積が変わるので磁束が時間変化します．つまり、磁束の変化の原因は磁場の変化（電磁気学）にあるのではなく，棒が引っ張られたこと（力学）にあります．このとき，磁束の時間変化として、(磁場B)x(面積)の面積が時間変化するとして(A)を使っても起電力が得られます（演習問題をでやったでしょう）．外力が行った仕事から求めた起電力と，本来電磁気学の法則である(A)に(一定磁場B)x(時間変化する面積)という「変則な磁束」を適用した結果がなぜ一致するのか理由は分りません．

なお，ループを一定磁場の中で移動させるとき，ループが完全に一定磁場の中にある限り電流は流れません．ループの一部が一定磁場から外れた領域に入った途端電流は流れます．

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

ANO.2　と重なりますが、電磁誘導の法則は
磁場の次官変化によるもの、ローレンツ力によるものの両方があり
それが dφ/dt の形で美しくまとまっています。

つまり

1) 磁場が時間で変化すれば rotH + ∂B/dt = 0 で空間に電場が生じる。
この場合、コイルが「動かず」とも、磁場に時間変化があれば電圧は生まれます。
2) コイルを構成する各導体片は「移動」するとローレンツ力を受ける。
これは磁場の有無だけで決まるので、磁場の時間変化は関係ありません。
ローレンツ力 qvXB の vXB 部分は電場とみなせるし、(vxB)ds(dsは導体片の長さベクトル)
　 の積分は「移動」によるコイルを貫くφの時間微分とも一致します。

この2種類の電場の合わせ技が電磁誘導です。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>磁石を近づけることによって磁界の強さが変化しているのだから理解できる説明です。

磁場の変化は確かに電場を生みますが、均一な磁場の中で導体棒を移動させただけでも
導体棒の中に電圧は発生します。

長さ l の棒が長手方向とは垂直に動き、磁束密度 B の磁場を切ると、棒の中の電荷
e は磁場からローレンツ力 F=eBv の力を受けます。

この力は、電荷自身から観測すると F=eE (E:電場) であらわされる電場に見えるので、
E = Bv 棒の両端の電位差は V = El = vBl

回答No.2

noname#221368

ローレンツ力についてはOKという事でしたね。

　まず直線導体が磁界の中で等速直線運動すれば、直線導体に含まれる荷電粒子（電子）にローレンツ力が働くのはわかると思います。そうすると直線導体の中の電子は一方向に動きだし、直線導体に電流が流れる事になるので、つながっているコ型導体の方の電子も動かざる得ない状況になります。

　こうしてロ型（？(^^；)）回路には電流が流れます。もしロ型回路に電流計をつないでおけば、その電流Iを測れるので、Rを導体の抵抗としてV＝RIからロ型回路への誘導起電力を逆算できます。

　さらに-ΔΦ/Δt＝VからVを、ロ型回路を通る磁束密度の総量（磁束密度Bx面積）の変化率に換算すると、

　　磁束密度B×面積の変化率＝V　　　(1)

になっているのがわかります。しかしこれはこうも考えられます。

　　磁束密度Bの変化率×面積＝V　　　(2)

　(1)は本当か？という事で、ロ型回路の面積を変化させずに、(1)に見合うように磁束密度Bを変化させると今度は、

　　V＝磁束密度Bの変化率×面積

となり、I＝V/Rで予想される電流は電流計で測った値と一致します。

　誘導起電力は、回路面積の変化のせいなのか？、磁束密度の変化のせいなのか？。でも回路面積も磁束密度も変化する状況は、明らかに考えられます。その一般形を予想すると、

　　V＝磁束密度Bの変化率×面積＋磁束密度B×面積の変化率　　　(3)

になりますよね？。そして、(3)は正しかったんです。

　以上より誘導起電力は、回路をつらぬく磁束の時間変化率に等しい、という表現になりました。

回答No.1

ORUKA1951

＞この説明以前に、導体に磁石を近づけると起電力が発生することが説明されています。これは、磁界の中にただ単に導体を置いているだけではなく、磁石を近づけることによって磁界の強さが変化しているのだから理解できる説明です。
　この理解が間違いです。
　導体の中には、電荷があると考えます。
　電荷が磁界中を相対的に移動すると、その電荷の周囲に磁界が発生します。
　→
↑×↓　磁界が奥に移動しているとき。
　←

↓　→　↓
↓↑×↓↓周囲に磁界があるので、電荷は左側に力を受けます。
↓　←　↓

　磁界中を導体(内部に移動しうる電荷をもつ)が移動する。あるいは周囲の磁界が移動すると電荷は力を受ける。

　こう考えておくと楽ですね。
＞磁石を近づけることによって磁界の強さが変化しているのだから理解できる説明です。
　そう理解してしまうと、均一な磁界中を移動する場合は起電力が発生しないことになりますね。磁界の強さではなく磁束が通過する。・・