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数学の質問です。
superkeroyonの回答
- superkeroyon
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Φをbanach limit, すなわち次を満たすl＿∞上の連続線形関数とする： Φ(ax+by)=aΦ(x)+bΦ(y)(線形性) すべてのnに対してx_n>=0をみたすl＿∞の任意の元に対し、Φ(x)>=0 添数をひとつずらす操作Sに対してΦ(x)＝Φ(S(x)) 収束するx=(x_n)nに対してはΦ(x)=limit x(Φは極限の拡張) Jordan測度Jを次のように定義する： 実数のルベーグ可測集合を考え、λをルベーグ測度とする。 実数のルベーグ可測集合Aに対して J(A)=Φ(z(A)),ここでz(A)はl＿∞の元として 各kに対しz_k=k・λ(Aと(0,1/k)との交わり) と定義する。 交わりが空なルベーグ可測集合A、Bに対して、z(AとBの和集合)=z(A)+z(B)となること（λがルベーグ測度より）と、Φの線形性から Φ(z(AとBの和集合))=Φ(z(A))+Φ(z(B))、すなわちJが有限加法性を満たす。 各自然数nに対し、集合A_n=[1/(n+1),1/n)とすると、z(A_n)は0へ収束することと、Φは極限の拡張であるので、 J(A_n)=0. しかし、A_nの和集合(0,1)ではJ((0,1))=1。 よって完全加法性を満たさない。
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