5人でじゃんけん

質問

5人でじゃんけんをするとき、2回連続であいこ、3回目で1人が勝つ確率を教えてください。

回答No.1

gomagoma427 · ベストアンサー

５人ともそれぞれグー・チョキ・パーの３通りの出し方があるので、５人の手の出し方は全部で

3^5 = 243　通りあります。

このうちアイコになる手を考えます。
というより、アイコにならない手を考えて、それを全体から引きます。

考え方として思いつくのは二通りあります。ひとつめとしては、例えば5人の手の出し方がふたつに分かれる場合です（みんな同じだとアイコですし、グー・チョキ・パーがひとつずつあってもアイコになってしまうからです）。

例えばグーとチョキに分かれる場合は何通りあるでしょうか？

答えは　2^5-2 通りです。これは５人全員がグーとチョキしか選択肢がないときに出す出し方から、全員がグー、全員がチョキを出す2通りを引いたものです。

今はグーとチョキで考えましたが、グー・チョキ・パーからふたつ選ぶ選び方が

3C2 = 3C1 = 3　通りあるので、結果として勝敗が付く手の出し方は

3 x (2^5-2) = (3^2) x 10 通りあることになります。

したがって、アイコになる場合の数は

3^5 - (3^2) x 10 通りであり、これを全体の数で割ると

1- 10/3^3 = 17/27

がアイコになる確率になります。

もうひとつ別のアイコになる確率の計算の仕方も以下にのべます。この問題では１人が勝つ確率も求めなければならないので、次のやり方のほうが良いかもしれません。

同じように勝敗の付く場合の数を計算するのですが、場合分けをしていきます。

まず誰かひとりが勝つ場合です。この場合、勝つ人間を選ぶのが5通り、どの手で勝つのかを選ぶのが３通りで合計５ｘ３＝１５通りあります。

次にふたりが勝つ場合ですが、この場合は勝つ二人をえらぶのが５C2＝１０通り、どの手で勝つかを選ぶのが３通りで計３０通りになります。

次に3人が勝つ場合ですが、これは二人が負ける場合の数であり、二人が勝つ場合の数と対称となっているので、同様に３０通りとすぐにわかります。

同じように、4人が勝つ場合は1人が勝つ場合と対称となるので、場合の数は15通りです。

つまり勝敗が付く場合の数が全部で90通りとなるのですが、これは上の計算と一致しています。

したがってアイコになる確率は同じく

17/27

です。

さて、上の計算から、じゃんけんはその都度独立ですので、3回目でひとりが勝つ確率は次のように求まります。

(17/27)^2 x (15/243) = 85/(3^10)

お礼

非常に詳しくご回答で、理解することができました。ありがとうございました。