数式

質問

〔(x-(1/(x＾2))〕＾15におけるx＾7のけ係数を求め方法で
a=x, b= -1/x2, n=15として
(15Ckx15-k(-1/x2)k)は

(-1/x2)k)=(-1)k(1/x2)k=(-1)k(1/x2k)=(-1)kx-2k

15Ckx15-k(-1/x2)k=15Ckx15-k{(-1)kx-2k}=15Ck{(-1)kx15-kx-2k}=
15Ck{(-1)kx(15-k)+(-2k)}=15Ck{(-1)kx15-3k}

となりましたが、
●展開式のx15-3kの項の係数は(-1)k*15Ck
●x15-3kがx^7に一致することはあり得ません
の２つのがわかりません。
お願いします

回答No.2

kony0 · ベストアンサー

{x-(1/x^2)}^15
=Σ(k=0～15)15Ck*x^(15-k)*{-(1/x^2)}^k
=Σ(k=0～15)(-1)^k*15Ck*x^(15-3k)

ここまで来られたわけですね。

これは
{(-1)^0*15C0}*x^15
+{(-1)^1*15C1}*x^12
+{(-1)^2*15C2}*x^9
+{(-1)^3*15C3}*x^6
+{(-1)^4*15C4}*x^3
+{(-1)^5*15C5}*x^0
+{(-1)^6*15C6}*x^(-3)
+{(-1)^7*15C7}*x^(-6)
+{(-1)^8*15C8}*x^(-9)
+{(-1)^9*15C9}*x^(-12)
+{(-1)^10*15C10}*x^(-15)
+{(-1)^11*15C11}*x^(-18)
+{(-1)^12*15C12}*x^(-21)
+{(-1)^13*15C13}*x^(-24)
+{(-1)^14*15C14}*x^(-27)
+{(-1)^15*15C15}*x^(-30)
という意味です。（上から順にk=0,1,2,...,15を代入して、Σを具体的に書き下してみた^^;）

さて、前にも書いたとおり、x^6の係数は+{(-1)^3*15C3}であることが見て取れると思います。

これで質問の１つめには答えたつもりです。
（もしこれがわからないとすれば「係数」とはなにか、教科書やgoogle等で調べましょう。ちなみに私は「項の中で文字に掛けられているもの（数字等）」と解釈してます。）

また、展開したときにx^7の項はありますか？ないですよね？
x^7の項がない場合のx^7の係数は、ずばり０です。（0*x^7という項があると思ってもらえれば理解できるかと思います）・・・答えはでましたが、これで説明おわりじゃないです。必ずこの下を読むこと！

ところで、「x^(15-3k)がx^7に一致することはありえません。」というのは？
これは「kの取りうる値の範囲」をよく思い出してみましょう。０～１５の「整数」ですよね？（「そんなことどこにも書いてない」といわないように。いま２項定理を扱っていることをお忘れなく・・・）
kが０～１５の整数のとき、各項のxの次数15-3kが7になるでしょうか？・・・否。なりませんね。

ということを言っているわけです。

・・・どんなテキストの回答を見ても、まずΣを展開した16項すべてを書き下してはいません。が、この問題を解ける人は、この「書き下し」を頭の中で展開しながら、
・x^(15-3k)の係数は(-1)^k*15Ck（k=0,1,...,15の整数の場合）
・x^n（nが15,12,...,-30（15-3kにk=0,1,...,15を代入したもの）以外の場合）の係数は0
・15-3k=7を解くとk=8/3。これはkが整数でないから係数を(-1)^k*15Ckとするのは不適。
⇒ということで、「x^7の係数は０」です。

＃テキストで文字式書くのは辛いですが、べき乗記号(^)と括弧()を正しく使いましょう。x-1だと、誰が見ても「エックス引く１」です。「エックスのマイナス１乗」とは読めません。^^;

#1さん

少なくとも私は「丸写して、ハイ！出来上がり！！を警戒して」いました。
でも、この問題とかって、わかってる人はすぐだけど、わかってない人には、なぜ「15-3k=7をするのか？」「なぜkが不適なのか？（kの取りうる範囲が捕らえきれていない、また解法に結びつかない）」「Σにcombinationも出てきてわけわからん」などというのが、いくら「模範回答」を書かれてもなかなか理解できない（理解できてれば質問する問題ではない。理解できてないと、説明を受けても何言ってるかわかんない）問題であることに気付き、ここまで書いてみました。
まさか、すべての項を展開したこんな回答を「丸写し」しないでしょうしね。（笑）

回答No.1

noname#17965

すみません。私にはわかりません。でも、、、

素直に

問題の解答を教えて下さい。
（x-1/x＾2）^15を展開した時のx＾7の項の係数を求めよ。

とだけ書けばいいと思いますよ。あまり余計な事を書き過ぎると、回答者はそれも見る必要があります。回答も複雑になります。とりあえず回答してくれるのを待って、それを見ても分からなかったら補足で質問するようにしてはどうでしょう。

この問題、２，３回出てますが完全な解答はまだ付いてないですね。回答者はそのものズバリの答えを避けているようです。たぶん、丸写して、ハイ！出来上がり！！を警戒しているのだろうと思います。その辺はもうmacさんの心がけ次第でしょうね。