点対称の条件です

質問

任意の実数xに対してf（p）＝｛f（p+x）+f（p-x）｝/2　が成立するとき、y＝f（x）が点（p，f（p））について対称であることを示せ。

という問題がうまく示せないのですが、どうしたらいいですか？

回答No.7

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

No.1 です。

まず、点対称の条件ですが、一次元だと、p の 左右同じ距離のところに点があるということです。
で、その点を、x1, x2 とすれば、（簡単のため、x1 < x2 とする）

x1 - p = p - x2 です。（p からの距離が同じ）
これを書き直すと 2p = x1 + x2 となり、 p = (x1 + x2) / 2 になります。

二次元だと x, y 両方について同じことをやるという意味です。

で、y = f(x) が、点 (p, f(p)) について点対称であるというのは、

y1 = f(x1) という関係が成り立つとき、この点と（p, f(p)) について点対称な点、(x2, y2) があって、y2 = f(x2) という関係が成り立つということです。…… 1)

なので、任意の点、 (x + p, f(x + p)) に対して、(x - p, f(x - p)) （この式は、「y = f(x)上にある」という意味の式）が、点対称の位置にあることがいえるので、1) がいえます。

あと、奇関数を使う方法は、まず、「奇関数は原点に対して点対称である」ということが前提になります。

与えられた y = f(x) を -p だけ（x軸上のプラス側にで）平行移動します。
一般に、y = f(x) を -p だけプラス側に（＝ p だけマイナス側に）平行移動すると y = f(x + p) になります。

※例でいえば、y = x^2 を 1 平行移動（1だけ＋側にへ項移動したもの）は、y = (x - 1)^2 になります。
　これは、x = 1 のとき、元の関数の x = 0 と同じ値をとる（その他の値についても）ということから、元の関数に対して、x が 1増えたときに、同じ値になるからです。
これを、g(x) = f(x + p) とおきます。

これを用いて書き換えると
f(p) = g(0 + p) = g(0)
f(p + x) = g(x)
f(p - x) = f(-x + p) = g(-x)
となり、

f(p) = (f(p + x) + f(p - x)) / 2 が成立するので、
g(0) = (g(x) + g(-x)) / 2 がいえます。

あとは、g(x) をさらに、y 方向に -g(0) 平行移動します（y軸のマイナス側に g(0) 移動する）
h(x) = g(x) - g(0) と書き直すとこれは、

h(x) + h(-x) = 0 となり、h(x) は奇関数です。
つまり、h(x) は、原点（0, 0）に対して、点対称です。

さて、h(x) は、どういうものかといえば、もとの f(x) を、x 方向に -p (f(x)→g(x)) y 方向に -g(0)(g(x) → h(x)) 平行移動したのです。

つまり、h(x) 全体を、x 方向（プラスの方向）にp, y方向（プラスの方向）に g(0）（つまり、f(p)）平行移動すると、もとの関数になるわけです。
原点も(0, 0) から、(p, f(p)) に移動しますから、この点に対して点対称となります。