四面体の垂線

質問

四面体についての問題です。

四面体ABCFがあります。
AB＝2√11、BC＝√5、BF＝2√5
AC＝7、AF＝8、CF＝5です。
点Bから△ACFへ垂線を下ろした時の長さを求めよ。

正四面体ならできるので すが、長さの違う四面体になるとわからなくなります。
どなたか教えて下さい。

補足
あと、四面体ABCFの体積を求めるとき、
△BCFを底面積とし高さをABにしても大丈夫ですか？
∠FBC＝90ºです

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

3平方の定理を使えば
△ABC,△ABF,△BCFは３つとも∠Bが90°の直角三角形であることが判ります。
したがって、Bを原点Oにとり、BAをx軸、BCをy軸、BFをz軸にとれば
A(2√11,0,0), B(0,0,0), C(0,√5,0), F(0,0,2√5)となる。
図にすると添付図のようにさります。参考にしてください。
平面ACFの方程式は
　x/(2√11) +y/√5 +z/(2√5)=1
点B(0,0,0)から△ACF（平面ACF）に下ろした垂線の長さは
点と平面の距離の公式から
　垂線の長さ=|1|/√{(1/44)+(1/5)+(1/20)}=√(33)/3　...(答え)

>あと、四面体ABCFの体積を求めるとき、
>△BCFを底面積とし高さをABにしても大丈夫ですか？

添付図から判るとおり大丈夫です。
なぜなら
>∠FBC＝90ºです
合わせて、∠ABF=∠ABC=90ºだからです。

なお、∠FBC＝90ºだけ示しても不十分です。

体積＝2√11*√5*2√5/6=(10/3)√11

参考URL：

http://keisan.casio.jp/exec/system/1202458240

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます。図までつけてもらい本当に助かりました。

回答No.2

yyssaa

＞細かく説明すると、
AB^2=44、BC^2=5、AC^2=49だからAB^2+BC^2=AC^2なので、
△ABCは∠ABC=90°の直角三角形・・・(ア)。
BF^2=20、AF^2=64だから、AB^2+BF^2=AF^2なので、△ABFは
∠ABF=90°の直角三角形・・・(イ)。
CF^2=25だから、BC^2+BF^2=CF^2なので、△BCFは∠CBF=90°
の直角三角形(ウ)。
(イ)(ウ)より辺BFは△ABCの垂線になるので、この四面体の体積
(Vとする)は、(ア)から△ABCの面積が求まるので、
V=△ABCの面積×BF×1/3=(1/2)*AB*BC*BF*(1/3)
=(1/2)*2√11*√5*2√5*(1/3)=10√11/3・・・・・(1)となる。
次に△ACFの面積を求めるためにFから辺ACに下ろした垂線の足
をGとすると、AG^2+FG^2=AF^2からAG^2+FG^2=64・・・・・(2)
FG^2+(AC-AG)^2=FG^2+(7-AG)^2=FC^2=25・・・・・(3)
(3)を展開、整理すると、FG^2-14AG+AG^2=-24・・・・・(4)
(2)と(4)の辺々マイナスすると14AG=88、AG=44/7
(2)に代入してFG^2=64-AG^2=64-(44/7)^2=1200/49、FG=20√3/7
△ACFの面積=(1/2)*AC*FG=(1/2)*7*20√3/7=10√3
点Bから△ACFへ垂線を下ろした時の長さをLとすると、
V=(1/3)*△ACFの面積*L=(1/3)*10√3*L=10L/√3・・・・・(5)
(5)=(1)だから10L/√3=10√11/3からL=√(11/3)・・・答

補足
あと、四面体ABCFの体積を求めるとき、
△BCFを底面積とし高さをABにしても大丈夫ですか？
∠FBC＝90ºです
＞∠FBC＝90ºであってもABが△BCFの垂線になるとは限りませんが、
上で説明した通り∠ABF=∠ABC=90°なのでABは△BCFの垂線となり、
四面体ABCFの体積を求めるとき、△BCFを底面積とし高さをABに
しても大丈夫です。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。助かりました。