- ベストアンサー
単位正方形を8個詰め込める円
単位正方形（1辺の長さが1の正方形）を8個詰め込むことが出来る最小の円の半径と，そのときの正方形の詰め込み方を教えてください。
- takayuki_kato
- お礼率58% (261/443)
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数2
- みんなの回答 （7）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
<回答No.6 nbh02001さん，ありがとうございます．この模範解答は参考URLにありましたが，掲載期間が2014年1月17日までだったので，該当部分を添付画像でつけます． 数値は回答No.4でtakafiro974さんがすでに出しているものと同じですが肝心の最小性の説明がまったくありませんね．(これでいいのか，数学検定協会の模範回答が?) ## 誰かこの答えが本当に正しいのか証明/反証をつけてくれませんか．
その他の回答 (6)
- nbh02001
- ベストアンサー率0% (0/1)
No.2様 これは12/7第246回数学検定2級2次で出題された問題です。
（今回の回答は 惜しい例です） 正方形をずらした 穴のある並べ方では ずらした長さが5/22のとき 半径(4381/3124)√２≒1.98324891701553… となり 前出√2257/24≒1.97949558670328…より小さくなりません。
No.3です 訂正です。 ×誤 √2577/24 ○正 √2257/24
（方眼紙に手描きで 円も歪んでいて 申し訳ない） （これで最小の自信もなし） no.1さんをヒントに正方形２個を1/2ずらすと 半径√2577/24≒1.979495586… に入ります。 半径√2577/24は 直角を挟む2辺が 31/24, 3/2の直角三角形 41/24, 1 の直角三角形 の斜辺の長さ（一緒）です。
- ask-it-aurora
- ベストアンサー率66% (86/130)
この回答では条件を満たす最小の円の半径r*を与えたりはしていません．その意味でこれは「回答」になっていませんが，ご寛恕ください． この問題がどこで出されたのか，あるいはご自分で考えたのかは知りませんが，この問題から連想された古典的な問題があります：「球充填問題」や「接吻数問題」です．起源がニュートンに求められるような由緒正しい（？）問題でかんたんに述べられる割には回答が難しい（一般次元では恐らく未解決のまま！）ものです．この問題も似た雰囲気を感じたので最初から最小性の証明は諦めて円の半径の下界と上界を与えることにします．（何か見落としているだけで，意外とかんたんかもしれませんが．） まずr*の下界を与えます．円は8個の正方形を含んでいるのだから，その面積を比べれば 8 ≦ 2πr*^2, よってr* > 0 なので 2/√π ≦ r* が得られます． 次に上界を与えます．実際に添付画像にあるような配置を考えれば中心が赤い点で，そこから最も遠いのは黄色で描かれた線分の端点なので，半径はピタゴラスの定理を使えば√(17)/2です．よって r* ≦ √(17)/2 とわかります． 以上から大体 1.1 < r* < 2.1 くらいです．
- t-jentil
- ベストアンサー率0% (0/1)
おそらくですが3×3に並べて左端かどこか端を抜いた8個が一番小さくなります そうすると直径は正方形の対角線3つ分なので３√2です 半径は2分の3√2になります まだgooをはじめたばかりで至らない点もあるかと思いますがお役に立てたら嬉しいです
関連するQ&A
- 正方形の中に接する円
辺の長さ４の正方形の中に等しい大きさの２つの円をすきまなくぴったり接するように書きます。すると正方形のなかに８という字がぴったりはまっているようになります。この２つの円の半径は１です。すると、８の字の左右と正方形のたての辺の間にすきまができます。このすきまにぴったりはまる円を書きます。この円の半径を出したいのですが、わかりません。三平方とか使うのかなあ、と考えたのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円と正方形がファイ比率をなす状態とは？
「円と正方形がファイ比率をなす」というのですが、 円のどの長さと 正方形のどの長さが ファイ比率（短い方を1として1.618）をなしているのか確認したく質問いたしました。 円と正方形の状態は、 円の中心と 正方形の中心は 同じ所にあり、 正方形の四つの角が、円からちょっとはみ出たような 作図になっていました。 また、円と正方形がファイ比率をなすと 円周と 正方形外周は 同じ長さになるそうです。 とりあえず、正方形の1/2辺と 円の半径を調べてみたのですが、 1.2前後になり、1.618ではありませんでした。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正方形に円が重なる面積の問題です。
正方形に、正方形の一辺を半径とする円を、正方形の各頂点を中心として、４っつ書きます。この時、中央にできる、膨らんだ正方形に似た感じの面積を求めよ。 この問題、実は小学生に解けて、大学生には解けないと言われている問題です。この問題どう解きますか？自分は正解知りません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一辺の長さがaの正方形の中にある図形の面積
一辺の長さがaである正方形があります。この正方形の各頂点を中心とする４つの半径aの円に囲まれた四角形？の面積ってこの条件だけで求まりますか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単位円について
単位円についていまいち分からないことがあるので教えてください。 たとえば、cosθ=√3/2を求めるとします。まず僕の場合半円（上半分）を書きます。そしてx軸、y軸を書き円との交点のそれぞれx=1、x=-1 y=1を書きます。√3/2ですから、原点とx=1のだいたい間ぐらいですね。そこら辺に点を打ってy軸に平行に円にぶつかるまで伸ばし、ぶつかったところと原点を結び、三角形を作ります。このとき円の半径は単位円ですから1とすぐ分かりますが、ほかの二辺はどっちが長いかすぐ分かりません。すぐ見分ける方法はないでしょうか。 今回の場合√3/2に2をかけて、あっできタッといった感じでしたが、やはり時間がかかります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円に内接する正方形の作図（コンパス定規最小回数）
円α・円の中心O、円の１点Aが与えられたときに、 Aを頂点の１つとする円αに内接する正方形ABCDを作図したいと思います。 ただし、できるだけ、 コンパス・定規の合計使用回数を少ないものを探しています。 よくある方法だと、 （点Cの作図） １．直線OAを引き、円αとの交点をCとする （点B、Dの作図＝ACの垂直二等分線を作図） ２．点Aを中心として任意半径の円βを描く ３．点Cを中心として「２．」と同じ半径で円γを描く ４．円βと円γの２つの交点を通る直線を引き、円αとの２つの交点をB,Dとする。 （正方形ABCDを作図） ５．直線ABを引く ６．直線BCを引く ７．直線CDを引く ８．直線DAを引く の合計８回の操作で正方形が作図できますが、 どうやら最小だと「７回」で正方形が作図できるらしいのです。 もし、方法をご存知の方がいらしたら教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正方形と、最小公倍数&最大公倍数の関係について
ある長方形を敷き詰めて出来る最も小さい正方形は、長方形の縦と横の長さの最小公倍数になる ということと ある長方形に敷き詰めることの出来る最も大きい正方形は、長方形の縦と横の長さの最大公約数になる ということの理由は、下の考え方で良いでしょうか? ■正方形と最小公倍数の関係 縦72×横72の正方形で考える 縦72を24ずつ3分割して横に直線を引く 横72を18がつ4分割して縦に直線を引く すると縦72×横72の正方形が、縦24×横18の長方形で敷き詰められていることになる 縦72を24ずつ3分割しているということは、72は24の倍数と考えることが出来る 同じく横72も18ずつ3分割しているということは、72は18の倍数と考えることが出来る よって正方形の一辺の長さ72は24と18の公倍数と考えられる。 24と18の最小公倍数は72であり、公倍数の時しか正方形にならないことから一辺が72より小さい正方形は作れないので ある長方形で敷き詰めて出来る最も小さな正方形の一辺の長さは 長方形の縦と横の長さの最小公倍数になる と考えることが出来る ■正方形と最大公約数の関係 24を長方形の縦の長さ 18を長方形の横の長さ とする 長方形の縦の長さ24を長さ6で分割して横に直線を引く 横の長さ18を長さ6で分割して縦に直線を引く すると、24×18の長方形が、一辺の長さが6の正方形で敷き詰められていることになる。 縦24を6ずつ均等に分割しているということは、6は24の約数と考えることが出来る 同じく横18も6ずつ均等に分割しているということは、6は18の約数と考えることが出来る よってこの正方形の一辺の長さ6は長方形の縦24と横18の公約数と考えられる。 24と18の最小公倍数は6であり、縦24と横18の長方形を一辺が6より大きい正方形で敷き詰めることは出来ないので ある長方形に敷き詰められている最も大きい正方形の長さは長方形の縦の横の長さの最大公約数になる と考える事が出来る。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正方形の一辺の長さについての問題
正方形の中に、四分円が３個、等円が２個あります。等円は四分円と正方形に接しています。 (1)円の直径が１ｃｍのとき、正方形の一辺の長さは何ｃｍになりますか。 条件が少なすぎて、どうやって解いたらよいのか分かりません。 アドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正方形と扇形の面積を求める問題
正方形の４つの頂点から正方形の辺の長さと同じ円を４つ描きます。 そうすると正方形の真ん中にやや正方形のような図形ができます。 その面積を求めることはできますか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正方形に内接する円の半径
「１辺の長さが２の正方形ABCDに内接する円O1が辺ABと接する点をB1、辺ADと接する点をD1とする。次に、円O1に外接し線分AB1と線分AD1の両方に接する円O2をつくり、AB1と接する点をB2、AD1と接する点をD2とする。さらに、円O2に外接し線分AB2と線分AD2の両方に接する円O3をつくる。同様の操作を繰り返して円O4をつくる。O2の半径を求めよ。」という問題があり、解説に、「円O1,O2,O3,O4の半径をそれぞれr1,r2,r3,r4とし、2円O1,O2は外接するので(中心間距離O1O2)=r1+r2=1+r2 また、AO1=√2,AO2=√2r2」とあるのですが、AO2がどうして√2r2となるのかわかりません。どなたかお教えください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご多忙の中，多数の回答ありがとうございました。（お返事遅くなり失礼いたしました。） お礼はベストアンサーに選ばせていただいた方のみに記しておきますが，これをもちまして回答をいただいた方々すべてへのお礼とさせていただけますと幸いです。今後ともよろしくお願い申し上げます。