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コンデンサーとコイルの並列で電荷の変化
図のように電圧E[V]の電源、電気容量C[F]のコンデンサー、インダクタンスL[H]のコイル、抵抗R[Ω]の抵抗があるとします。 スイッチを閉じた直後はコンデンサーは導線、コイルは断線、 十分時間がたてばコンデンサーは断線、コイルは導線になります。 コンデンサーにたまる電荷は、最初は増えていきながら、途中で減っていき、最後は0になると思いますが、その時間変化と、たまる最大の電気量を教えていただきたいのですが。 よろしくお願いします。
- ddgddddddd
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チビチビの書き散らしでワケ判んない…ほとんどご破算です。 改めてブリーフィング。 E → R → C の閉路電流を ic、E → R → L の閉路電流を id として、 E = (R + 1/sC)*ic + R*id E = R*ic + (R + sL)*id このペアより、 D = (R + 1/sC)(R + sL) - R^2 = R(s^2LC + sL/R + 1)/(sC) として、 ic/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } を得る。 ic = E*sL/D = E*s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } の電源へステップ電圧 V/s を加えると、 ic = (V/s)*sL/D = V*sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } ic に積分オペレータ 1/s を掛ければ電荷 Qc 。 Qc = V*LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } R*Qc/V = 1/(s^2 + s/(CR) + 1/(LC)) 以下、damped oscillation の例。 a=√(1/LC - 1/(2RC)^2) , b=1/(2CR) として、 R*Qc/V = 1/{(s+b)^2 + a^2} ↓ 「ラプラス変換表」---------→ 参考URL ↓ R*qc(t)/V = (1/a)*e^(-bt)*sin(at) 初っぱなのピーク・タイミング (tp) a*tp = (π/2) - arctan(b/a) …にて qc(t) の最大値かな? (大したハナシじゃなかった ... sweat )
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- 178-tall
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ANo.5 の訂正案? ic = E*sL/D = E*s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } の電源へ V/s なるステップ電圧を加えれば、 ic = (V/s)*sL/D = V*sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } これに積分オペレータ 1/s を掛ければ電荷 Qc 。 Qc = V*LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } R*Qc/V = 1/(s^2 + s/(CR) + 1/(LC)) damped oscillation 領域にて : a=√(1/LC - 1/(2RC)^2) , b=1/(2CR) R*Qc/V = 1/{(s-b)^2 + a^2} ↓ ラプラス逆変換 R*qc(t)/V = (1/a)*e^(-bt)*sin(at) 吟味のほどを…。
- 178-tall
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調子に乗り、インダクタンスLの電流も眺めようとして、ここまでの錯誤に気づきました。 それを出せる式のスタイルが得られないのです。 遅蒔きながら参照 URL の立式を眺めたとたん、納得。 ステップ入力の V/s を、単に V としてたのです。 「ラプラス変換表」の勝手な誤用、でした。 ここまでの算式を、ちゃんと正してみてください。
- 178-tall
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(ティータイムに誤記訂正だけ…) R*Q(t)/E = e^(-bt){cos(at) - (b/a)*sin(at)} …(Z) ; a=√(1/LC - 1/(2RC)^2) , b=1/(2CR) ( damped oscillation 領域内に限る i.e. {1/LC - 1/(2RC)^2} > 0 )
- 178-tall
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(やはり、ランチ・アワー直後は脳休状態だった) >s - 積分してしまうのがイージーみたい。 ↓ あらためて疑惑を感じ、s - 積分する前を眺めると…。 ↓ R*iC/E = sL/D = s^2LC/(s^2LC + sL/R + 1) 右辺は、 1 - (sL/R + 1)/(s^2LC + sL/R + 1) 初項の 1 の逆変換は「デルタ関数 δ(t)」じゃありませんか。 スイッチ・オンとともに流れる「ラッシュカレント」で、C が一気にチャージアップされてしまう、ということか…。 …だとすれば、ANo.6 の「初期条件」うんぬんは要らざること。 R*Q(t)/E = e^(-bt){cos(at) - {1/(2aC) }*sin(at)} (Z) ;a=(1/LC - 1/4RC), b=-1/(2CR) のままで OK らしい。 (ただし、damped oscillation 領域内に限る) スプレッドシートに算式 (Z) を勘定させてみると、果たして初っぱなからチャージアップされてます。 初っぱなのチャージが「最大」で、あとは振幅放絡線が減衰でしていくのは予想通り。
- 178-tall
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(過渡現象の演習にありそうなお題だが、見つからない…ナゼ? よくある E - R - L - C の dual は、i//R//L//C なのダ!) 「初期条件」 Q(0) = 0 なら? Q(t)/E = (1/R)*e^(-bt){cos(at) - {1/(2aC) }*sin(at) - 1} a=√(1/LC - 1/4RC) b=1/(2CR) (注意) ANo.5 の b=-1/(2CR) は誤記。 …でいいのかしらん? まだマダ、未熟。
- 178-tall
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(ランチ・アワー直後で、脳天半休みたいですけど…) s - 積分してしまうのがイージーみたい。 iC/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } ↓ s - 積分 Q(s)/E = (iC/E)/s =sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } = s/[ R{s^2 + s/(CR) + 1/(LC) } ] ↓ 「ラプラス変換表」向きパターン整形 = [ {s + 1/(2CR) } - 1/(2CR) ]/[R{s + 1/(2CR) }^2 + (1/LC - 1/4RC) } ] ↓ 「ラプラス変換表」 Q(t)/E = (1/R)*e^(-bt){cos(at) - {1/(2aC) }*sin(at)} a=√(1/LC - 1/4RC) b=-1/(2CR) ここで「初期条件」つまり「積分定数」の吟味、なのかナ…? ----------------- 「ラプラス変換表」 ↓ 参考 URL
- 178-tall
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>t- 積分しコンデンサーの電荷変化をゲット。 s - 積分するほうがイージー。 iC/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } ↓ s - 積分 Q(s)/E = (iC/E)/s =sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } = s/{R(s^2 + s/(CR) + 1/LC) } ここで「ラプラス逆変換」…という段取り。
- 178-tall
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お目当ての算式に誤記が。 訂正を。 iC/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } = (1/R) - (sL/R + 1)/(s^2LC + sL/R + 1)
- 178-tall
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>…コンデンサーにたまる電荷は、最初は増えていきながら、途中で減っていき、最後は0になると思いますが、その時間変化と、たまる最大の電気量を教えていただきたいのですが。 「時間変化と、たまる最大の電気量」を勘定する能力 (手間) は無い、ので道筋だけでも…。 「コンデンサーにたまる電荷」に着目するのなら、「コンデンサーに流れる電流」のラプラス変換を求めておくと便利。 E → R → C の閉路電流 (コンデンサーに流れる電流) を iC 、E → R → L の閉路電流を iL として、 E = (R + 1/sC)*iC + R*iL E = R*iC + (R + sL)*iL なる回路式のペアから、 D = (R + 1/sC)(R + sL) - R^2 = R(s^2LC + sL/R + 1)/(sC) として、 iC/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) } = (1/R) - (sL + 1)/(s^2LC + sL/R + 1) になりそう。 (残務) 逆ラプラス変換表などを参照して iC を時間域へ逆変換したあと、t- 積分しコンデンサーの電荷変化をゲット。 「最大の電気量」を知りたけりゃ極大値探索。 前途洋々ですヨ。
- rabbit_cat
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たとえば、ラプラス変換なんかを使えば(比較的)楽に計算できると思います。 とりあえず、ステップ入力(電源電圧1V)のときの電荷の時間変化の式 http://www.wolframalpha.com/input/?i=C*InverseLaplaceTransform%5Bs*L*1%2F%28s*C%29%2F%281%2F%28s*C%29%2Bs*L%29+%2F%28s*L*1%2F%28s*C%29%2F%281%2F%28s*C%29%2Bs*L%29+%2B+R%29*1%2Fs%2Cs%2Ct%5D
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- 物理学
お礼
まことにありがとうございました。 僕は高校までの知識しかありませんので、理解は難しいですが、参考にして、今後勉強していきたいです。