微積 f (x)+f '(x)→0 (x→∞)
f:(0,∞)→実数として、f (x)+f '(x)→0 (x→∞)だとする。…(1)
そのときf (x)→0 (x→∞)であることを説明しなさいという問題ですが、
f '(x)→0 (x→0)が必要十分と考え
f (x)≠0 (x→0) だとして(f(x)=0 (x→0) だったらそれで終了)
f '(x)/f (x)→-1 …(2)
となる。
x→∞でf '(x)→0じゃない場合、
f '(x)→0以外の実数定数 もしくは±∞となるはずだが、
f '(x)がx→∞で実数定数になる場合、f(x)が発散してしまうため条件(1)を満たせない
f '(x)がx→∞で±∞になる場合、f(x)が逆の符号で発散しないと条件(2)を満たさないが、f '(x)→+∞のときf (x)→-∞、f '(x)→-∞のときf (x)→+∞にはなりえない。
よってx→∞のときf '(x)→0 になる。
という感じで大まかな考え方はあってますか?