演算子についての質問
- 量子力学の演算子についての質問です。
- 演算子を用いて波動関数を変換する場合、その物理的な意味についての疑問を持っています。
- 特に、Qψにはどのような物理的な意味があるのかが気になっています。また、Qψの理解についても疑問を持っています。
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演算子
量子力学の質問です。単純な例で、例えば、波動関数が基底ベクトル i と j であらわされていて、例えば、 ψ=Ci i + Cj j (Ci と Cjは複素数） として、例えば、 Q という演算子の行列(2x2 の行列で成分Q1,1, Q1,2, Q2,1, Q2,2 とする）をかけると ψがQψに写像されますが、 Qψ=(Ci Q1,1 + Cj Q1,2) i + (Ci Q2,1 + Cj Q2,2) j の物理的な意味は何でしょうか？ ψ* Q ψ （ψ* はψの複素共役） がＱの演算子で計算される期待値というのはわかりますが、Qψにはなにか物理的な意味がありますか？それともψ* Q ψ を計算する過程ででてくるだけでしょうか？ （ψの物理的な意味は、 i という状態と j という状態の重ねあわせで i になる確率が、Ci^2, ｊになる確率が Cj^2 と理解していますが、それと似たような理解がQψにはあるのでしょうか？）
- suminori
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http://www.jsimplicity.com/ja_Report_QuantumMechanics_html/ja_Chapter14_MatrixMechanics.html この辺に計算はひとしきり書いてあります。 個々に意味を付けて行く作業は、ファインマン物理学にあったように、行と列にどういう意味があるのかということです。 ψは正規直交ベクトルであるため、それに対応する行列の見方によって、物理量の大きさは変わります。 しかし、一貫して同じ物理量を表します。 行列*ケットという関係で見ると、不完全な形になります。もしその場で固有値が見つかってしまえばケットを定数倍しただけになり、そこでも意味づけは、多数状態が同じ物理量に支配されることになります。 それ以外の場合では、行列はベクトルを並べただけと考えればいい。ψに幾つもの横ベクトルがかけられる。 縦ベクトルと横ベクトルの積は内積だ。それがケットの要素分積が現れる。 さらにこれを並べたものをブラを左からかけたものが期待値(物理量)を与える。 つまり、行列とケットの積で得られたものは行列を構成する横ベクトルとケットとの内積による要素であり、射影である。 見る方向の最初を|ψ>とすると、Q|ψ>は最後の<ψ|から見た方向に射影をとったものの成分表示をしているだけに過ぎません。 つまり、Q|ψ>はある物理量の"断面"という捉え方ができます。
その他の回答 (3)
行列Qの列は見る方向を表し、行は見る対象の方向を表すのですが… 補足の行列は対角化されたものを表しているので、イメージは逆にしにくいかと 補足のψは確立振幅があらかじめ分けてあるので意味は捉えにくいと思います。 ここで説明するのは少し難しいので、例えば「ファインマン物理学V 量子力学」の5章のp.79、p.90-92あたりを参考にされるといいかもしれないです。質問にあるようなケットだけだと、p.139あたりに解説があります。
元々量子力学には波動力学と行列力学があり、それらが等価なものであるとわかったので、より理解しやすい波動力学の方を量子力学と呼ぶようになりました。 もともとの行列力学の行列要素は、状態を表すものとして構成されています。 |Ψ>が行列(縦ベクトル)だと分かっているならば、それらは正規直交関係になっている要素を並べた行列であることは容易に理解できると思います。 ではQ|Ψ>も同じように、正規直交基底の各要素のとの内積をとっているだけなので、|Ψ>"方向"から見たときの射影ベクトルになります。 これを読んでもわからないならば、勉強不足です。
お礼
有難うございます。ご指摘のとおり、かなり勉強不足だと思うのですが、射影の概念が、もともとベクトルの射影という理解であったので、Ｑという行列の射影というのが理解できません。 ただ、物理的な意味はどう考えたらよろしいでしょうか？ 例えば、ψが電子のスピンの状態を示しているとして 直交する基底ベクトル i : スピン上向き、j: スピン下向きを使って表示するとして、 縦ベクトルのψ= (1/√2,1/√2) とします。 その上で、 Q = hbar/2, 0 0, -hbar/2 の行列とすると <ψ|Q|ψ>=0 で、これはspin がhbar/2である確率と-hbar/2である確率が半々なので、ちょうど期待値としてゼロになると理解しております。0にはそういう物理的な解釈があると思っています。 また、ψ=(1/√2,1/√2)はスピンがhbar/2である確率が (1/√2)^2 =1/2 で同様にスピンが-hbar/2である確率が1/2 である物理的状態を示すベクトルと理解しております。 このとき単に Q|ψ>=(hbar/(2*√2), -hbar/(2*√2))（縦ベクトル）というのは、どういう物理的な(幾何学的ではなく）解釈が可能なのでしょうか？それとも、単に<ψ|Q|ψ>を計算する過程ということでしょうか？ もし、よろしければ、おしえていただけると助かります。
QをΨという"方向"から見たときの射影を見ている 場の理論で言ったら<Ψ|Q|Ψ>が期待値であるから、Q|Ψ>と同じ意味
補足
回答有難うございます。十分理解できません。 Ｑはベクトルでなく、行列という理解でしたが、行列にも射影があるというのはどういうことでしょうか？ またその物理的な意味はなにかあるのでしょうか？ あと、<Ψ|Q|Ψ>はスカラーでQ|Ψ>はベクトルだと思うのですが、同じ意味とはどういうことでしょうか？ よろしくお願いいたします。
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