三角関数？ 斜視のありがちな誤解？ 指摘願います。

質問

一応、由来としては
アイソメ図
と、言うものに関する　疑問です。

疑問の内容
直方体において、
　1、とある角(仮にPとする)から　延びる3辺が
　　　同じ長さに見える。
　2、その3辺の内の1辺が
　　　先の角Pより、見た目の真下に
　　　延びている。

以上が成り立つ時で、
かつ、

天面の　手前⇔奥の対角をA、
同天面の　Aじゃない対角をB、
同天面の　手前に見える1辺を♂
と、呼ぶ時。
A:B比は、
Bをx軸方向、Aをy軸方向
と、見立てて　tan 35°になる。
との事なのですが、
そんな事は　ないのでは？
と、言う　疑問です。

本文
製図で　アイソメ図　と、言うのが
あるのですが
「疑問の内容」で、書いた通りの
視野を、再現するそうです。

で、技法として
左右に対する、奥行きの比が
約tan35°だ　(※35.16度)
と、言うのです。

ここで考えました。
どう考えたか…
と、言うと
直方体を、その天面の真上から見ると、
当然、正方形ですが
♂の長さをを
「ルート2」
と、した時
その、対角の長さは　A、B、共に
各々2です…　よね？

この直方体を、徐々に傾けます。
すると、
Bの長さは、2のままですが、
Aは当然、見掛けが　徐々に縮み
これに連れ、鉛直方向の辺が　少しして見え始め
次第に、見た目の長さが延びていく…
このように　見えていきます。

角Pから　延びる3辺が
見た目、同じ長さに　なるまで
この直方体を　傾けていきます。

証明すべきなのでしょうが、割愛して
この時の、この直方体の見た目は
正六角形になります…　よね？

正方形がひしゃげた
見た目の菱形の、角Pに接する3つの角
その、各々の角度が　それぞれ120°
鉛直の辺を挟む2角で、合わせて240°
水平に価する　180°を引くと60°
1角辺り30°
つまり、♂と　見た目の水平(？)が
成す角は　30°
と、言う事…　ですよね？

Aの、本来の長さは　2
その収縮率は
tan30°/tan45°
=tan30°
ゆえに、Aの　見た目の長さは
tan30°×2
ですよね？

ところで、
何度目かに成りますが
Bは　2のままです。

と、言う事で
A:B比が　tanの何度になるかを
求めると、
アークtan(tan30°×2/2)
=アークtan(tan30°)
=30°
と、言う気がするのですが
「常識」
と、するところの
35°と、どうも合いません。

確実に、何かを勘違いしているからこそ
合わないのだ
と、思うのですが
何処が間違えているか
さっぱり　気付けません。

お手数ですが
ご指摘、ご指南を
どうぞ宜しく、お願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

　答は明らかかと思いますが、念のため。

　コメントにお書きのURLにある図は、ANo.2にstomachmanが添付した図と同じ形ですね。これを立体だと思って見ているから混乱するんでして、単なる2次元平面上の図形だと思って眺めれば良いのです。そうすれば、これらはただ、正六角形に対角線が引いてあるだけの図。
　この2次元の図形上での、Aの長さとBの長さの比は
　　(Aの長さ)/(Bの長さ) = (sin 30°)/(cos30°) = tan30°
　　sin 30° = 1/2
　　cos30° = (√3)/2
　　tan30° = 1/√3 = (√3)/3
である。ご質問にある説明のとおりにBの長さを2とするなら、Aの長さは(2√3)/3で、辺の長さもどれも(2√3)/3。
　また、ANo.2に添付した図にあるようにAを1としたなら、Bの長さは√3で、辺の長さはどれも 1。

　もちろん、tan35° なんて出こないっす。
　多分、なにか勘違いして暗記してる方がいらっしゃる、というだけのことでしょう。もしその方が「いーや絶対tan35° だ。昼飯代賭けてもいいっ！」と言い張るようでしたら、モノサシで図面の実寸を測れば明らか。tan30°≒0.577, tan35°≒0.700 で、かなり違いますからね。

回答No.2

stomachman

(1) 羊羹は「直方体」、サイコロは「立方体」です。ご質問は本当に「直方体」の話をなさっているんでしょうか？

(2) 図を添付して下さい。P, A, B, ♂が何を指しているのか不明瞭です。AとBが仰る通り角度であるなら、「Bをx軸方向」とは何の事か分からない。何が「tan35°」だと言うのかも分からない。

「アイソメ図」と仰るのはおそらくアイソメトリック図法（アイソメトリック投影、等軸測投影）のことだろうと思いますが、だとすると、ご質問の「疑問の内容」とどう対応するのか、理解に苦しみます。
　なお、「斜視」は病気の名前です。

　ご参考までに、アイソメトリック図法で立方体（サイコロ）を描くと、添付図のように正6角形に描かれます。このとき、辺の長さは全て同じ（だから「等(iso)測(metric)」と呼ばれます)。現れる角度は120°と60°の2種類だけ。辺の方向は3種類だけ。図中の寸法の意味は、0.5=sin30°, 　(√3)/2 = cos30° です。

お礼

まず謝罪致します。
ご指摘の通り
誤記があります。

正記
　立方体　斜視線

誤記
　直方体　斜視

>天面の　手前⇔奥の対角をA、
同天面の　Aじゃない対角をB、

正記
　対角線

誤記
　対角

お詫びの上、訂正致します。

加えて、
http://sdrv.ms/19b0gmo
に、図を書いておきました。

良ければ　ご参照ください。

ご指摘、有り難うございます。

回答No.1

Tacosan

端的に言えば, 「AB 比は tan 35° ではない」で終わりだねぇ.

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Isometric_projection

お礼

有り難うございます。