行列ですお願いします

質問

行列が分かりません
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回答No.2

k14i12d · ベストアンサー

(1)ケーリーハミルトンの定理より、
A^2-(a+2)A+(2a-b)E=0 ←[1]
また、与式の両辺と差をとって、
(a-3)A-(2a-b-4)E=0 ←[2]
A≠±EかつA≠0より、
ａ=3、b=2が導かれる。
(2)(i),nが偶数のとき、n=2kとして、
x^2k=(x^2)^k={(x^2-5x+4)+5x-4}^k
2項展開すると、x^2-5x+4のかかる項は全て割り切れるので、余りは5x-4
(ii)nが奇数のとき、x・x^2kとして、同様に計算し、
5x^2-4xが残るが、これはまだ、x^2-5x+4で割れるので、
5x^2-4x=5(x^2-5x+4)+21x-20
よって21x-20が求める余りである。
以上より、nが偶数なら、5x-4余り、nが奇数なら、21x-20余る。
(3)(2)より、nが偶数のとき、A^n=(A^2-5A+4E)P(A)+5A-4E
ところで、(1)よりA^2-5A+4E=0であったので、A^n=5A-4E
nが奇数のとき、A^n=(A^2-5A+4E)P(A)+21A-20E
同様にA^n=21A-20Eが導かれる。

回答No.5

Water_5

写真映りが悪いので、問題がわかりません。

回答No.4

k14i12d

また間違えた。
a=(4^n-1)/3、b=(-4^n+4)/3かな。

回答No.3

k14i12d

あ、間違えた。
(2)は(5x-4)^kか、x(5x-4)^kになって、これをx^2-5x+4で割った余りを考える。
(3)も間違えたけど、(2)が出来ればやることは同じ。
うーん、てことは、(2)は素直に
x^n=(x^2-5x+4)P(x)+ax+b
として、x=1、x=4の場合を考えて、
aとbを求めた方が早いかな。
a=4^n-1、b=-4^n+2になるかな。

回答No.1

Tacosan

「行列が分かりません」というだけなら (2) はできるはずだね.