3次関数

質問

f(x)=x^3-6x^2+9x 区間 a≦x≦a+1 の時の最大値

解答

微分してグラフかく

1. a+1<1→a<0 の時 x=a+1 で最大値

2. a<1≦a+1 →0≦a<1 の時 x=1で最大値

3. α<3<α+1 →2<α<3 の時 f(α)=f(α+1)とすると
α=9+√33/6
1≦a<9+√33/6 の時 x=aで最大値

4. 9+√33/6≦a の時 x=a+1 で最大値

3から分かりません f(α)=f(α+1)ってどっからきてるんですか？

馬鹿なので丁寧に解説お願いします、

回答No.2

watecolor1969 · ベストアンサー

f(x)=x^3-6x^2+9x
=x(x-3)^2

また、f'(x)=3(x-1)(x-3)

となるので、このグラフは

原点(0,0)を通り、
x=1で極大値をとり
x=3で極小値（この時、重根なのでx軸に接する）をとる
～（N字型の）グラフとなります。

ここまではできていると仮定した上で、

グラフを書いてみたらわかりますが

f(α)=f(α+1)というのは、式で表しているように
(xが取る区間の幅が1)という条件でf(x)の値が同じになる点 x=α を求めることです。

つまり、求まったαより少しでもずれたら最大値が特定できます。
もう少し具体的にいうと、αより0.1小さい値をとるなら
この問題の場合f(x)の値の大きさの順は

極大値の前後では
f(α-0.1)＜{f(α+1-0.1)=f(α+0.9)}＜{(極大値)=(最大値)}
極小値の前後では
(極小値)＜{f(α+1-0.1)=f(α+0.9)}＜{f(α-0.1)=(最大値)}

のようになります。
そのようになるαを特定しましょうということです。

この問題の場合、
α＜{f(x)が極大での x の値}＜α+1　　…(1)
α＜{f(x)が極小での x の値}＜α+1 …(2)

のように、それぞれ１つずつαが求まります。
f(α)=f(α+1)をαについて解くと
α=(9±√33)/6
となり、このαの値のうち、小さい方は(1)のα、大きい方は(2)のα
に相当します。

この問題の場合、最大値を求める問題なので、
３．で初めて適用されているのです。

言うまでもありませんが、
例えば問題でxの区間が
区間 a≦x≦a+(1/2)
であれば、f(α)=f(α+(1/2))
として使うことになります。

お礼

分かりました 具体的な説明ありがとうございました！

回答No.1

adachirusan

3. a < 3 < a ＋ 1 のとき、値域の中に極小値がある状態ですね。
x = a か、x = a + 1 の時が最大かなと検討がつくだろうと思います。

左の方から値域が少しずつと移動してくると、f (a) = f(a ＋ 1) の時に極小値が丁度値域の真ん中にくるので、
x^3 - 6x^2 + 9x = (x + 1)^3 - 6(x + 1)^2 + 9(x + 1) でxを求めると、
x = 9 + √33/6 と分かります。あとはaがこのxより大きいか小さいかで場合分けをするという訳です。

お礼

解説ありがとうございました！