ジョルダン標準形に関する質問です。

質問

A={{-1, -3, 4}, {5, 8, -5}, {6,, 7, -3}}
のn乗の求め方を教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

行列の次数が小さいから、タイトルどおり
ジョルダン標準形経由かなあ。
あれは、面倒なんだけれども。

det(A-sI) = -(s+2)(s-3)^2 であることから、
A の固有値は s = -2, 3, 3.

それぞれ固有ベクトルを求めてみると、
-2 → (-1,1,1)^T
3 → (1,0,1)^T
が出て、3 の固有ベクトルが足りない。

ジョルダン標準形が J =
　　-2　　0　　0
　　0　　 3　　1
　　0　　 0　　3
と取れることが判るが、変換行列を得るのに
もう一手間必要になる。

(A-3E)(x,y,z)^T = (1,0,1)^T を解いて、
x + y - z = 0.
この部分空間の中で、(1,0,1)^T と一次独立な
ものをひとつ取る。例えば、(0,1,1)^T.

以上の一般固有ベクトルを、列として並べて P =
　　1　　0　　-1
　　0　　1　　 1
　　1　　1　　 1
と置けば、PJ = AP となる。
これを使って、A^n = (PJ(P^-1))^n = P(J^n)(P^-1).

J^n =
　　(-2)^n　　0　　　0
　　0　　 　　3^n　　n・3^(n-1)
　　0　　 　　0　　　3^n
であることは、
E =
　　1　　0
　　0　　1
N =
　　0　　1
　　0　　0
に対して (3E+1)^n を二項展開してみれば判る。

最後に P^-1 の成分を求めて…　ここで息切れ。
P^-1 =
　　 0　　-1　　 1
　　 1　　 2　　-1
　　-1　　-1　　 1
は、正直、パソコンソフトに出してもいましたよ。

お礼

ありがとうございました。参考になりました。

回答No.2

alice_44

比較的小さい具体的な n に対して A^n が求めたいだけなら、
det(A-sI) = -s^3 + 4s^2 + 3s - 18 から
A^3 = 4A^2 + 3A - 18I が判っているんだから、
これを使って A^n の次数を下げてしまったほうが楽。

例えば、
A^5 = (A^2)(A^3) = (A^2)(4A^2+3A-18I)
　　= (4A+3I)(A^3)-18A^2 = (4A+3I)(4A^2+3A-18I)-18A^2
　　= 16A^3+24A^2-63A-54I = 16(4A^2+3A-18I)+24A^2-63A-54I
　　= 88A^2-15A-357I
に A を代入とか。

これを一般化して
A^n = p[n] A^2 + q[n] A + r[n] I を解くのは、
結局 A No.1 の計算をすることになってしまうけど。