ローレンツ方程式の楕円体トラップ領域の最小値

質問

StrogatzのNonlinear Dynamics & Chaosの演習問題での質問ですが、カオスに詳しい方、お願い致します。（一応自分では答えは出したのですが、英語で検索して出ている答えと違っているようなので
質問しています。）

９．２．２（ローレンツ方程式の楕円体のトラップ領域）
ローレンツ方程式の全ての軌跡が最終的にはEの中に入り、そして永久にそこにとどまるような以下のような形式の

rx^2 + σy^2 + σ(z - 2r)^2 ≦ C

ある楕円体の領域があることが示される。（注）
この時、この特性を有した最も小さな可能性のあるCの値を求めなさい。

（注）これはE = rx^2 + σy^2 + σ(z - 2r)^2
　　　と置いて時間で微分することで証明できます。

物理や、数学の得意な方、お願い致します。

回答No.2

Water_5

ローレンツ方程式は初期値を遠くからはじめても
急速に０近傍へ集まります。

そしてある範囲の中で、グルグル回転し、もう一方の”目”へ
移動します。

私はこの移動する条件は何だろうかに関心を持っています。

さて、そうやって出来たローレンツ領域は、外側へ増大する事を
しません。それだけみてても、何かしら楕円体トラップ
見たいなものが存在する事が予想されます。

しかし、
ローレンツ方程式のパラメータ（σ、ｒ、ｂ）の内
”ｂ”が楕円体トラップにありません。

ここが少し気になります。

補足

私の答えでひとつ記述ミスがありました。
２番目は、

・1≦σ AND 1≦b の時、C = 4bσr^2

です。（場合分けで、1<σ<b 又は 1<b<σ の時となるのでこれをまとめました。）
私は、単純に、
rx^2 + y^2 + b(z-r)^2 = br^2 の楕円体が
rx^2 + σy^2 + σ(z-2r)^2 = c の楕円体の中に完全にすっぽりと収まる条件で考えています。

純粋に数学の問題に帰着できるので、数学の得意な人は考えてみてください。
（私はMITに入れるほどの頭ではないので、多分私の考えのどこかが間違えているのかもしれません。）

言われるように、元の楕円体にはbのパラメータはありませんが、それは、時間で微分した時の不動点
の楕円体の中に現れます。

回答No.1

info22_

ここは、数学のカテゴリなので、数学的に解くための問題の説明や制約条件を書いて下さい。

「ローレンツ方程式」とはどんな方程式ですか？
簡単に書けなければその情報のあるURLを書いて下さい。

「楕円体のトラップ領域）」
トラップ領域とは何ですか？

式中の文字定数(E,r,σなど)の制約条件を書いて下さい。
正負ゼロを取りうる実数ではないでしょうね。楕円体という言葉が出てくる所を考えると、E,r,σは全て正数のようだが？
そして楕円体なら、E,r,σに上限もありそうですね。
どうでしょうか？
他にも、制限条件やx,y,zについての制約があればお書き下さい。

問題の内容が数学屋にも物理屋にも、わかるように問題文を書いてくれないと、回答がつきませんよ！制約条件も忘れずに書かないと解けませんよ？

補足

ローレンツ方程式は、

dx/dt = σ(y - x)
dy/dt = rx - y - xz
dz/dt = xy - bz

で書かれ、ここで、σ,r,b > 0　のパラメータです。
楕円体トラップ領域とは、ローレンツ方程式の全ての軌跡が最終的にはある大きな楕円体の中に留まり続けるような領域のことです。

ちなみに、
rx^2 + σy^2 + σ(z - 2r)^2 ≦ C
の証明は、
E = rx^2 + σy^2 + σ(z - 2r)^2
とおいて、これを時間で微分すると、

dE/dt = -2σ(ψ - br^2)
ここで、ψ = rx^2 + y^2 + b(z - r)^2 > 0　で表わされます。
ψ > br^２ は楕円体の外部を表し、それをE1とすると、この領域ではdE1/dt < 0　となる。
従って、E ≦ C でEがE1を内部に含むように十分大きなCを選ぶことができる。（証明終わり）
この結果を使って、最も小さい可能性のあるCを求めることになります。

因みに私の出した答えは、
・σ<1 AND 1<b 又は σ<b<1 の時、C = 4br^2
・1≦σ 又は 1≦b の時、C = 4bσr^2
・b<1 AND 1<σ 又は b<σ<1 の時、C = 4σr^2
です。

ちなみに、MITの人が解いた答えは以下にあります。
http://math.mit.edu/classes/18.385/PSetAnswers/AnswerPSet_2012_09.pdf