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極限値

lim[x→1] {(x+3)/(3x+1)}^(1/(1-x)) この極限値を求めたいのですが、求め方を教えてほしいです。 どうかよろしくお願いします。

noname#175334
noname#175334

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回答No.1

[ヒント] 自然対数の底 e の定義式 e = lim[ξ → 0] (1 + ξ)^(1/ξ) を使います． [答え] まず上の式を念頭に置きながら少し下準備をしておきます． (x + 3)/(3x + 1) = 1 + 2(1 - x)/(1 + 3x) ここで ξ = 2(1 - x)/(1 + 3x) とおくと，もとの式は lim[ξ → 0] {(1 + ξ)^(1/ξ)}^η の形に書けます．ただし冪の部分がゴチャゴチャするので η = 2/(1 + 3x) = (2 + 3ξ)/4 とおきました．あとは e の定義式を使えば e^(1/2) が答えとわかります．

noname#175334
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