極限について

質問

lim(x→0) ((3^x+5^x)/2)^(1/x)
の極限がわかりません。
どのように求めるのかを教えてください。

回答No.1

ereserve67

f(x)=log(3^x+5^x)とおくと

log{(3^x+5^x)/2}^{1/x}=(1/x){log(3^x+5^x)-log(3^0+5^0)}=(1/x){f(x)-f(0)}

ここで，

lim_{x→0}{f(x)-f(0)}/x=f'(0)=(3^x+5^x)'/(3^x+5^x)|_{x=0}=(3^xlog3+5^xlog5)/(3^x+5^x)|_{x=0}
=(log3+log5)/(3^0+5^0)=log15/2=log√15

よって，

lim_{x→0}log{(3^x+5^x)/2}^{1/x}=log√15

logの連続性より

loglim_{x→0}{(3^x+5^x)/2}^{1/x}=log√15

したがって，

lim_{x→0}{(3^x+5^x)/2}^{1/x}=√15

となります．答え√15