パラメトリック曲線について教えて下さい。

質問

数2Bをやっています。

「時刻tを指定したとき、x座標と y座標を決める手段が確立すれば、運動はとらえられる」
という立場にたてば、平面上の点の運動は、必ず適当な関数f(t),g(t)を用いて
x = f(t)
y=g(t)

と表される、と参考書に書いてあるのですが、本当にどんな曲線でも表せるのですか？
例えば、電話している間に描くような適当なぐるぐる曲線や、ボールペンのインクがでないときに紙にめちゃくちゃに描くような、そんな曲線でも数式にできちゃうのですか？

教えて下さい＞_＜

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>それは元の任意の曲線を表すわけではないということでしょうか？

おっしゃっている意味が判りませんが、パラメトリック表示が
表す曲線は媒介変数を様々に変化させて得られる点の集合です。

得られる点の集合が同じなら同じものという見方もできますし、
媒介変数と点との関係が重要なら違うという見方もできるでしょう。

回答No.3

alice_44

＞ ペン先が時刻 t に在る点を (f(t),g(t)) とするとき、
＞ 時刻 t+1 にある点は (f(t+1),g(t+1)) で表せるとは限りませんよね？

ペンが曲線を描いている間の 各 時刻 t において、
その時刻にペン先がある座標を (f(t),g(t)) とせよ　…ということです。
これによって、関数 f(t) と g(t) が定まります。
そうすると、ペン先が時刻 t+1 にある点は、必ず (f(t+1),g(t+1)) になります。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>そんな曲線でも数式にできちゃうのですか？

時刻に対するペン先の位置が判っていればf(t), g(t) が作れます。

ひょっとして、f(t), g(t) がどんな形であれ、
それらが「任意関数を含まない数式」で
表現できるか？　という質問？

補足

わかりにくくてごめんなさい。

もしかして、平面上の点の運動は、必ず適当な関数f(t),g(t)を用いて表されるというのは、あくまでも点の運動であって、もとの曲線を表すわけではないのですか？
例えば、任意の曲線の、ある1点P(x , y)の運動が
x=t-1
y=t^2+4t-1
とパラメータ表示されるとき、(tはすべての実数値をとって変化する)点P（x , y）の描く軌跡の方程式は
y=x^2+6x+4
となりますが、それは元の任意の曲線を表すわけではないということでしょうか？

お時間ございましたらよろしくお願いいたします。

回答No.1

alice_44

「描く」という心象は、秀逸だと思う。
ペンで曲線を描くことを考えた時点で、
貴方は、ほぼ正解に、パラメータ表示の
イメージを掴んでいる。
あとは、ペン先が時刻 t に在る点を
(f(t),g(t)) とすればいい。
同じ曲線をペンがなぞるスピードを変えれば、
別のパラメータで表示されることになる。

補足

ご回答くださりありがとうございます。

自分の理解を確かめたいのですが、ペン先が時刻 t に在る点を
(f(t),g(t))
とするとき、時刻t+1にある点は
(f(t+1),g(t+1))
で表せるとは限りませんよね？
別な時刻にある点は、例えば
t+1をuとおけば
(p,(u),q(u))
で表すことになりますか？

また、
>同じ曲線をペンがなぞるスピードを変えれば、別のパラメータで表示されることになる。
というのは、その同じtのとき、例えばt=3の時点では、スピードが変われば同じ曲線であったとしても点の位置が異なるため、別なパラメータで表示されるという理解でよろしいでしょうか。

それから、曲線上の点P(x, y)がP(f(t),g(t))と表せるとき、スピードが変わった場合でも、
点Pは(f(s),g(s)) (sは時刻)
で表せると考えてよろしいでしょうか。

なんだか検討はずれのことをいっていたら申し訳ないです。
お時間がございましたらよろしくお願い致します。