パラメトリック曲線に関する質問です。

質問

ある紙飛行機が下記のパラメトリック方程式の軌跡をたどります。
x(t) = t-3sin(t)
y(t) = 4-3cos(t)
そしてtは紙飛行機を飛ばしてからの時間を示し10秒後に壁にぶつかります。

１）　dy/dx と　d^2y/dx^2を求めよ。
２）　垂直接線の座標をすべて求めよ。
３）　水平方向の接線の座標をすべて求めよ。
４）　xとyそれぞれの単調性を求めよ（tを用いて）。
５）　変曲点を求めよ。

という問題なのですがどのようにしたらいいのでしょうか？
どなたかお力を貸してください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x(t) = t-3sin(t) ...(1)
y(t) = 4-3cos(t) ...(2)

点(x,y)の軌跡のグラフと水平および垂直な接線と接点をプロットした図を添付するので参考にしてください。、

dx/dt=1-3cos(t) ...(3)
dy/dt=3sin(t) ...(4)

1)
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=3sin(t)/{1-3cos(t)}　...(5)
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=(d(dy/dx)/dt)/(dx/dt)
={3cos(t)(1-3cos(t))-3sin(t)*3sin(t)}/{1-3cos(t)}^3
=3{cos(t)-3}/{1-3cos(t)}^3 ...(6)

2)
>垂直接線の座標
意味不明？
「垂直な接線の接点の座標」ですか？

そうなら
dy/dx=±∞となる条件から(5)の分母=0
　1-3cos(t)=0
　cos(t)=1/3　→　t=2nπ±cos^-1(1/3)
　sin(t)=±2√2/3
0≦t≦10[s]より
　t=cos^-1(1/3)(≒1.23)[s],2π-cos^-1(1/3)(≒5.05)[s],
　　2π+cos^-1(1/3)(≒7.51)[s]
(2)より
　y=3
(1)より
　x=cos^-1(1/3)-2√2,2π-cos^-1(1/3)+2√2,2π+cos^-1(1/3)-2√2
垂直な接線(3本)と接点座標
　x=cos^-1(1/3)-2√2 ,接点の座標(cos^-1(1/3)-2√2,3)
　x=2π-cos^-1(1/3)+2√2 ,接点の座標(2π-cos^-1(1/3)+2√2,3)
　x=2π+cos^-1(1/3)-2√2 ,接点の座標(2π+cos^-1(1/3)-2√2,3)

3)
>水平方向の接線の座標
意味不明？

「水平な接線の接点座標」では？
そうなら(5)より
dy/dx=0とする条件から　sin(t)=0
0≦t≦10[s]より
　t=0,π,2π,3π[s]

接線と接点の組は次の4通り。
(1),(2)より
　接線y=1,接点(0,1)
　接線y=7,接点(π,1)
　接線y=1,接点(2π,1)
　接線y=7,接点(3π,1)

4)
>単調性
この定義はなんでしょう？

x,yの単調増加のtの範囲、単調減少のtの範囲であれば
(3)のdx/dt,(4)のdy/dtから
dx/dt=1-3cos(t)≦0のtの範囲ではxは単調減少
　0≦t≦cos^-1(1/3)[s],2π-cos^-1(1/3)≦t≦2π+cos^-1(1/3)[s]
dx/dt=1-3cos(t)≧0のtの範囲ではxは単調増加
　cos^-1(1/3)≦t≦2π-cos^-1(1/3)[s],2π+cos^-1(1/3)≦t≦10[s]
dy/dt=3sin(t)≦0のtの範囲ではyは単調減少
　π≦t≦2π[s],3π≦t≦10[s]
dy/dt=3sin(t)≧0のtの範囲ではyは単調増加
　0≦t≦π[s],2π≦t≦3π[s]

5)
(6)の
d^2y/dx^2=3{cos(t)-3}/{1-3cos(t)}^3=0
分子=3{cos(t)-3}<0なので変曲点は存在しません。

お礼

とても詳しい回答ありがとうございます！
英語の文章の問題だったため日本語訳がおかしくなってしまいご迷惑をおかけしました。

図もとても参考になりました。

回答No.3

yyssaa

１）～３）の回答とx-yグラフです。
１）　dy/dx と　d^2y/dx^2を求めよ。
＞dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=3sint/(1-3cost)・・・答
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx={d(dy/dx)/dt}/(dx/dt)
=[{3cost(1-3cost)-3sint*(3sint)}/(1-3cost)^2]/(1-3cost)
=(3cost-9cos^2t-9sin^2t)/(1-3cost)^3=(3cost-9)/(1-3cost)^3・・・答
２）　垂直接線の座標をすべて求めよ。
＞dx/dy=1/(dy/dx)=(1-3cost)/3sint=0、cost=1/3
0≦t≦10(≒3.2π)でcost=1/3となるtは、cos-1(1/3)、2π±cos-1(1/3)、
t=cos-1(1/3)のときの座標x=cos-1(1/3)-√8,y=4-1=3
t=2π+cos-1(1/3)のときの座標x=2π+cos-1(1/3)-√8、y=3
t=2π-cos-1(1/3)のときの座標x=2π-cos-1(1/3)+√8、y=3
(cos-1(1/3)-√8,3)、(2π+cos-1(1/3)-√8,3)、(2π-cos-1(1/3)+√8,3)・・・答
３）　水平方向の接線の座標をすべて求めよ。
＞dy/dx=3sint/(1-3cost)=0、sint=0
0≦t≦10(≒3.2π)でsint=0となるtは、0、π、2π、3π
t=0のときの座標x=0,y=1
t=πのときの座標x=π,y=7
t=2πのときの座標x=2π,y=1
t=3πのときの座標x=3π,y=7
(0,1)、(π,7)、(2π,7)、(3π,7)・・・答

お礼

回答ありがとうございます。
大変申し訳ないのですが今回は先にご回答いただいた方とベストアンサーとさせていただきます。

皆様のおかげで自分でも答えを導きだす事ができました。本当にありがとうございます！

回答No.1

alice_44

1)
合成関数の微分法則より、dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) です。
d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = {d(dy/dx)/dt}/(dx/dt)
でもあります。これを使って、コツコツ計算しましょう。
d^2y/dx^2 = (dy/dx)^2/(dx/dy)^2 ではないことに注意。

2)
垂直方向の定義が必要です。x軸y軸は、どこを向いていますか？

3)
水平方向の定義が必要です。x軸y軸は、どこを向いていますか？

4)
任意の t について dx/dt ≧ 0, dy/dt ≧ 0 であることを、
計算で示してください。

5)
まず、dy/dx = 0 を解いて、臨界点の t を求め、
変曲点かどうか、各 t を検証してください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
縦(垂直)がy軸、横(水平)がx軸です。