直流電動機でおもりを引き上げると等速に達するか？

質問

高校物理の問題です。
直流電動機の回転軸に円板がつけてあり、円板に巻きつけた糸におもりがついています。
それでおもりを引き上げるわけです。問題におもりの上昇速度のグラフが添えてあり、時間が経過すると上昇速度は一定値に収束するようになっています。
回答には、モーターに逆誘導起電力が生じ、それによって消費された電力がモーターのする力学的仕事になる、と記されています。
そこでわたしが考えたのですが、電池の起電力をE、回路の抵抗をR、電流をi、逆誘導起電力をVとすると、

E-V=iR (1)

となります。
また、電力と仕事率の関係から

　iE=mva+mgv+Iωβ+i^2R　(2)

(m,v,aはおもりの質量、速度、加速度。Iは回転体の慣性モーメント,ω,βは角速度、角加速度）
mvaは運動エネルギーの変化率、mgvは位置エネルギーの変化率、Iωβは回転のエネルギーの変化率、i^2Rはジュール熱です。

また糸の張力をTとすると

T-mg=ma

ですから、(2)に代入して

iE=Tv+Iωβ+i^2R　(2)’

これと(1)を比較して

Tv+Iωβ=iV (3)

となります。
(3)はまさに逆誘導起電力による電力が力学的仕事になったということだと思います。

ここからが質問なのですが、
時間が経過したとき、上昇速度vが一定になる、このとき角加速度βは0、張力Tはmgで一定、
よって(3)は

Tv=iV

T,v一定ですから右辺も一定にならなければなりません。
ところがVは電磁誘導から

V=ωBSsinωt

(Bは磁束密度、Sは回転する回路の面積、tは時刻）
となって、これと(1)からiも求まってiVは一定になりません。
つまりvを一定と考えると矛盾が生じます。

慣性モーメントI、角速度ω、角加速度βとか、磁束密度B、面積Sから誘導起電力が求まるとかは私が勝手に置いた考えですので、おかしいところがあるのかもしれません。

直流電動機でおもりを引き上げると上昇速度が一定値に収束するのか、私の考えのどこがおかしいのか、ご教授ください。
よろしくお願いします。

回答No.2

foobar · ベストアンサー

V=ωBSsinωt　はモータのひとつのコイルに着目した誘導電圧です。
直流モータは複数のコイルをもっていて、回転角度に応じて順次切り替えるので、この式にはならず、ある平均電圧（直流）の周りで上下するような電圧になります。
で、この平均電圧を「速度起電力（誘導電圧と質問中で呼んでいるもの）」として扱えば矛盾は起きないでしょう。
（電圧の揺らぎの部分に関しては、電力などを平均すると0になるので、平均速度や平均トルクについて計算するときには考慮する必要はありません。）

補足

回答ありがとうございます。
コイルの構造が単純ではないのですね。
それでも、速度はあくまでも平均なのでしょうか。厳密には一定の速度にはならないのでしょうか。
問題に添えられていたグラフも平均値だと考えればいいのでしょうか。
よろしければ、補足をお願いします。

回答No.3

foobar

モータのトルクは、コイルの切り替えなどで変動するので、厳密には速度も若干揺らぎます。
ただし、通常の使用では速度の揺らぎ（脈動）は無視できる程度かなと思います。
（トルクの脈動は、場合によっては問題になるかもしれません。）

お礼

厳密には平均だけど無視できる程度の揺らぎということですね。
回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#175206

>V=ωBSsinωt

　これはモータ1回転ごとに見たものですね。そこまでのVは平均として扱われているようです。少なくとも、そこに齟齬があります。

　こういう1回転ごとの考慮をするなら、平均としては等速でも、細かい加減速があるとする必要があるでしょう。

「直流モータ 微分方程式」でネット検索すると、もしかするとお考えになりたいことと近いものが見つかるかもしれません。

お礼

Vは平均なんですね。検索してみます。
ありがとうございました。