図形の問題です。

質問

三角形ＡＢＣの外心Ｏが三角形の内部にあるとし、α,β,γは条件（※）を満たす正数であるとする。
また、直線ＯＡ,OB,OCがそれぞれ辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢと交わる点をそれぞれＡ’,Ｂ’,Ｃ’とする。
（※）αＯＡ＋βＯＢ＋γＯＣ＝０　　ＯＡ，ＯＢ，ＯＣにはベクトル記号がつきます。
（１）ＯＡ，α,β,γを用いてベクトルＯＡ’を表せ。
（２）三角形Ａ’Ｂ’Ｃ’の外心がＯに一致すればα＝β＝γであることを示せ。
解ける方お願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

（１）A'は辺BC上にあるから，

OA'=(1-t)OB+tOC(0<t<1)

A'は線分AOのO側の延長上にあるから，

OA'=kAO(k>0)

∴-kOA=(1-t)OB+tOC

OA=-{(1-t)/k}OB-(t/k)OC

一方※より

OA=-(β/α)OB-(γ/α)OC

∴{(1-t)/k}OB+(t/k)OC=(β/α)OB+(γ/α)OC

OB,OCは０でなく平行でないから

(1-t)/k=β/α
t/k=γ/α

辺辺足して

1/k=(β+γ)/α,k=α/(β+γ)

∴OA'=-kOA=-αOA/(β+γ)（答）

（２）（１）と同様にして

OB'=-βOB/(γ+α)
OC'=-γOC/(α+β)

Oが△A'B'C'の外心であるから，OA'=OB'=OC'，

αOA/(β+γ)=βOB/(γ+α)=γOC/(α+β)

ここでOは△ABCの外心でもあるから，OA=OB=OC，

α/(β+γ)=β/(γ+α)=γ/(α+β)

左の等式より，

α(γ+α)=(β+γ)β，α^2-β^2+γ(α-β)=0

(α-β)(α+β+γ)=0

α+β+γ>0より

α=β

右の等式より同様に

β(α+β)=(γ+α)γ，β^2-γ^2+α(β-γ)=0

(β-γ)(α+β+γ)=0

α+β+γ>0より

β=γ

よって

α=β=γ

回答No.2

m-1016

(1)の別解だけ。

αＯＡ＋βＯＢ＋γＯＣ＝０

を変形して、

OA↑=-(β+γ)/α・(βOB↑+γOC↑)/(β+γ)

(βOB↑+γOC↑)/(β+γ)は点B,Cをγ:βに内分する点ですが、上式からこれはOA↑と同じ直線上にあるので、この点はA'

よって、

OA'↑=(βOB↑+γOC↑)/(β+γ)=-α/(β+γ)・OA↑