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高１、場合の数について。
高１、場合の数 袋の中に赤、青、黄、緑の４個の球が入っている。 この袋から１個の球をとりだし、色を調べて元に戻す。 この操作を４回行い、各回で取り出された球の色で、 図1の４個の正方形を左から順に塗る。 ただし、隣どうしを同色で塗ってもよい。 例えば、１回目に赤、２回目に赤、３回目に緑、４回目に青を取り出したときは、図２のようになる。 【1】 ４個の正方形を異なる３色で塗る場合… 正方形4つのうち2色塗る数は4C2 正方形2つに塗る色は4通り もう1つの正方形に塗る色は3通り そのもう1つの正方形に塗る色は2通り 4C2×4×3×2=144通り 【2】４個の正方形を異なる２色で塗る場合の数を求めよう (1)４個の正方形のうち、３個の正方形をある１色で塗り、残りの１個の正方形を別の色で塗る場合… 同じように考えて 4C3×4×3=48通り (2)４個の正方形のうち２個の正方形をある１色で塗り、残りの２個の正方形を別の１色で塗る場合… これがわからなかったんです 同じように考えて 4C2×4×3=72通り と思ったんですが、 解答を見ると36で、2で割らないといけませんでした でもその理由がわかりません 例えば、(2)は ●●○○ と ○○●● が等しいということなのですか？ でもそれならば、(1)についても ●●●○ と ○●●● は等しいということになって、 48÷2=24通りになりませんか？ でも(1)は答えは48通りでした (2)の場合、なぜ2でわるのですか？
- utasuki091
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- ereserve67
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ちょっと別の方法（同じものを含む順列）で数えてみましょうか． 【1】3種の色を選ぶのは4C3=4通り．この3色を○●◎とすると，○○●◎と○●●◎と○●◎◎の3つの場合でいずれの場合も，4!/2!=12通り．よって4×3×12=144通り． 【2】(1)2種の色を選ぶのは4C2=4・3/2!=6通り．この2色を○と●とすると，○○○●の場合と●●●○の場合で4+4=8通り．よって6×8=48通り． 【2】(2)2種の色を選ぶのは4C2=4・3/2!=6通り．この2色を○と●とすると，○○と●●の4つの同じものを含む順列で4!/(2!2!)=6通り．よって6×6=36通り． この方法で間違いないことは分かるでしょう． >【2】(2)４個の正方形のうち２個の正方形をある１色で塗り、残りの２個の正方形を別の１色で塗る場合… >これがわからなかったんです >同じように考えて >4C2×4×3=72通り >と思ったんですが、 >解答を見ると36で、2で割らないといけませんでした >でもその理由がわかりません 4C2×4の塗り方のうち1番目と2番目を○に塗る場合を考えましょう． ○○□□ 残っている3色から1色●を選んで， ○○●● となります．ところがこの塗り方は次のように考えてもできます． 4C2×4の塗り方のうち3番目と4番目を●に塗る場合を考えましょう． □□●● 残っている3色から1色○選んで3通り． ○○●● つまり，4C2×4×3では常に2通りの数え方で一つの塗り方ができるようになっています． だから最後に2で割るわけです． >例えば、【2】(2)は >●●○○ >と >○○●● >が等しいということなのですか？ いえ，これらそれぞれを2重に数えているのです． >でもそれならば、(1)についても >●●●○ >と >○●●● >は等しいということになって、 >48÷2=24通りになりませんか？ >でも(1)は答えは48通りでした いえ，これらは掲載の数え方でも2重にならないのです． 肝心なのは「もれなく，重複なく」ということです．最初に挙げた同じものを含む順列を使った方が確実だと思います．
- suko22
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解答の考え方は、 まず塗り方のパターンの数を数えて、それに対する色の塗り方を考えています。 塗り方のパターンですが、 ○○●●の並べ方を数えればいいので、4Ｃ2または4！/2！2！ この4Ｃ2の中身を実際に見てみると ○○●● ●●○○ ○●○● ●○●○ ○●●○ ●○○● それぞれの塗り方のパターンについて4×3通りの色の塗り方があるわけですが、 上段2個のパターンと中段2個のパターンと下段2個のパターンは同じなんです。 つまり、○○●●で色の塗り方を4×3通りとした場合と●●○○での色の塗り方を4×3通りとした場合は完全に重複して数えていることになります。 のこりの塗り方のパターンも同じように考えれます。 よって、塗り方のパターン4Ｃ2に対して、それぞれ4×3通りの色の当てはめ方があるけど、このような数え方では上図のようにそれぞれ重複して2倍数えてしまっているので、2で割るということです。 別の考え方） 色の塗り方のパターンを書き出してみます。書き出すときにあらかじめ重複するのは避けます。 この考え方では質問文に書いてあるとおり、○○●●と●●○○は同じ塗り方のパターンとして片方だけ考えます。（上記の2で割る考え方は同じと考えないで数えて、結局重複するから2で割ろうという考えです） i ○○●● 4×3通り ii ○●●○ 4×3通り iii ○●○● 4×3通り よって、4×3×3＝36通り こういう風に考えると質問文にあるように ＞でもそれならば、(1)についても ●●●○ と ○●●● は等しいということになって、 48÷2=24通りになりませんか？ という疑問が出てきてもおかしくはないのですが、 これは区別します。 なぜなら、これは色の塗り方のパターンとして、そもそも塗る色の数が違うから同じパターンとは考えないからです。
- genshisyounen
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yyssaaさんの回答を見ました。 yyssaaさんの回答が正しいことがわかりました。
- yyssaa
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(2)の場合、なぜ2でわるのですか？ ＞例えば４個の正方形に番号を付けて1,2,3,4とし、色を赤と緑に すると 4C2で例えば1,3が選ばれてそれらを赤、残り2,4を緑にする場合と 4C2で例えば2,4が選ばれてそれらを緑、残り1,3を赤にする場合は 同じ塗り方になるので、×1/2になる。 4C3で例えば1,2,3が選ばれてそれらを赤、残り4を緑にする場合、 4C3で4だけが選ばれることは無いので、同じ塗り方は生じない。
- genshisyounen
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質問者の考え方が正しく、答えが間違っていると判断されます。 また、 ●●○○ と ○○●● ●●●○ と ○●●● を同じとみなすかどうかですが、問題文に「左から順に塗る」と方向を指定しているので、別扱いになると思います。
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