必要、十分条件

質問

(1)X＞１はX2乗+2X-3＞０であるための条件は？

(2)|X|＞１はX＜-１であるための条件は？

(3)-√3＜X＜√3はX2乗＜３であるための条件は？

命題と証明難しいです。
本当に申し訳ないですが、解答お願いしたいです。

回答No.3

worldglobe

まず、問題を解くにあたって、大概どっちが十分条件で、どっちが必要条件なのかわからなくなることが多いです。

例題として、問題文「ＰはＱであるための条件は？」とあったときに、前者(Ｐ)→後者(Ｑ)が成り立つとき『十分条件』が成立、後者(Ｑ)→前者(Ｐ)が成り立つとき『必要条件』が成立、双方が成り立てば『必要十分条件』が成立します。
それを覚えたうえでご質問の問題を解いて参りましょう！

(1)は、後者をまず因数分解してxの範囲をはっきりさせましょう！
x2乗+2x-3=(x+3)(x-1)>0なので、xの範囲はx<-3,1<xとなりますね。
なので、x>1とx<-3,1<xを比較しましょう！
前者を後者の条件にあてはめると、反例がありませんので、成立します。
一方、後者を前者の条件にあてはめると、x=-4などの反例が発生するため、成立しません。
したがって、前者→後者のみ成立するので『十分条件』が成立します。

(2)は、前者の絶対値を外してあげましょう。
すると、xの範囲はx<-1,1<xとなりますね(途中省略)
なので、x<-1,1<xとx<-1をまた比較しちゃいましょう！
前者を後者の条件にあてはめると、x=2などの反例が発生するので、成立しません。
一方、後者を前者の条件にあてはめると、反例がありませんので、成立します。
したがって、後者→前者のみ成立するので『必要条件』が成立します。

(3)は、後者のxの範囲を2乗を取ってあげた形に直しましょう。
x2乗<3より、x<|√3|　となります。
これより、後者は-√3<x<√3と書き換えが可能です。
ここから前者と後者を比較しましょう！
・・・すると、前者も後者も同じ範囲を示していますね!!
ということは、前者→後者でも、後者→前者でも反例は発生しませんので、どちらの条件も成立します。
よって、これは『必要十分条件』が成立します！

このような問題を解くにおいて、気を付けた方が良いのは、まず、2次方程式や絶対値がついたものなど、見た目が複雑になっているものは1次方程式などの簡単な式にできるだけ直してあげることです！
これができると、問題を解くのが一気に楽になると思います!!
また、条件を考えてあげるときは、反例を探すことが大切です。
全部成り立ちそうに見えてきちゃうので、どの問題でも反例があるのではないか!?とまずは疑ってみるべきです！
その上で反例が無ければ、その条件は成立するということになりますからね!!

私も苦手ですが、出来るだけ問題を簡単に、2つを比較しやすいようにして問題を解くようにしています。
問題数をこなすと、慣れもついてくると思います！

ぜひ、克服に向けて頑張ってください！
参考になればと願っています。

長文の回答となり、申し訳ありませんでした。

お礼

いやいや、こちらこそ本当にありがとうございます！！

丁寧で分かりやすかったです！
私も自分なりにやってみますね！

回答No.2

yyssaa

A←Bが成り立つならAは必要条件でBは十分条件。矢印の矢が当
たった方が必要条件で反対側が十分条件(矢が当たると必殺だから
必要条件と覚える)。
A→BかつA←Bが成り立つなら両方とも必要十分条件。
これだけ覚えて
(1)X＞１はX2乗+2X-3＞０であるための条件は？
x^2+2x-3=(x+3)(x-1)＞0の解はx＞1又はx＜-3だから
X＞１→X2乗+2X-3＞０は成り立つが、X＞１←X2乗+2X-3＞０は
成り立たない。だからX2乗+2X-3＞０が必要条件でX＞１は
十分条件・・・答え
(2)|X|＞１はX＜-１であるための条件は？
|X|＞１の絶対値記号を外すと1＜x又は-1＞x。
だから|X|＞１←X＜-１は成り立つが|X|＞１→X＜-１は成り立た
ない。だから|X|＞１は必要条件・・・答え
(3)-√3＜X＜√3はX2乗＜３であるための条件は？
X2乗＜３の解は-√3＜X＜√3だから-√3＜X＜√3→X2乗＜３かつ
-√3＜X＜√3←X2乗＜３が成り立つ。だから必要十分条件・・答え

回答No.1

info22_

範囲の包含関係を調べれば明らかでしょう。

(1)
十分条件

(2)
必要条件

(3)
必要十分条件