数検の過去問

質問

http://www.su-gaku.net/gakushu/sample/sample_img/1-5/1kyu_mondai_1ji.pdf
で問題一ができないのですが、単純にxかyを消去して、がりがり計算してもできないのでしょうか？

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

単純に途中計算を抜かないで、間違えないように工夫しながら、ひたすら計算をして
解答すると以下のようになります。

(3-6y/(x+y))^2+(3+6y/(x-y))^2=82 ...(1)
xy=2 ...(2)

(1)の式を整理すると
9(1-2y/(x+y))^2+9(1+2y/(x-y))^2=82
(1-2y/(x+y))^2+(1+2y/(x-y))^2=82/9
2-4y/(x+y)+4y/(x-y)+4y^2/(x+y)^2+4y^2/(x-y)^2=82/9
4y{-1/(x+y)+1/(x-y)+y/(x+y)^2+y/(x-y)^2}=64/9
y{2y/(x^2-y^2)+2y(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2}=16/9
y^2{(x^2-y^2)+(x^2+y^2)}/(x^2-y^2)^2=8/9
2x^2y^2/(x^2-y^2)^2=8/9
(2)のxy=2を代入して
8/(x^2-y^2)^2=8/9
1/(x^2-y^2)^2=1/9
(x^2-y^2)^2=9
x^2-y^2=±3 ...(3)

ここで　(2)より　y=2/x ...(4)
(4)を(3)に代入して
x^2-4/x^2=±3
x^4-4=±3x^2　...(5)

x^4-4=3x^2のとき
x^4-3x^2-4=0
(x^2-4)(x^2+1)=0
x^2+1>0より
x^2-4=0
∴x=±2
(4)に代入
∴y=±1(複号同順)

x^4-4=-3x^2のとき
x^4+3x^2-4=0
(x^2+4)(x^2-1)=0
x^2+4>0より
x^2-1=0
∴x=±1
(4)に代入
∴y=±2(複号同順)

以上から、求めるx,yの組(x,y)は以下の4組みとなります。
∴(x,y)=(2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)

回答No.7

htms42

＞単純にxかyを消去して、がりがり計算してもできないのでしょうか？

どういう計算をされたのでしょう。
どこで沈没されたのですか。

がりがりやるとしてもやはり何らかの方針は必要です。
｛　Ａ　｝^2＋｛　Ｂ　｝^2＝８２

Ａ＝３－６ｙ/(ｘ＋ｙ)＝３(ｘ－ｙ)/(ｘ＋ｙ)
Ｂ＝３＋６ｙ/(ｘ－ｙ)＝３(ｘ＋ｙ)/(ｘ－ｙ)

きれい形ですから沈没するとは思えないのですが
ｘｙ＝２を使ってｘ、またはｙを消す場合、どちらの文字を消しても同じ形になります。
２乗の展開や通分で間違っているのではないでしょうね。

回答No.6

alice_44

上の式を見たら、z = 6y/(x+y) と
置きたい気持ちになるのが普通ではないか？
その上で、分子分母に x を掛けて
z = 6xy/(x^2 + xy) とすれば、
下の式の使い道が見つかる。
(3 - z)^2 + (3 + z)^2 = 82
を解くのは、難しくないはず。

お礼

上の式の第二項は6y/(x-y)なので、zが使えないのでは?

回答No.4

Dr-Field

No.2 です。
計算間違いをしていたので再掲。

単純に代入すると大変なことになりますから、ちょっと工夫。

最初の式において、（　）の中をちょっと計算すると、(x-y)/(x+y)を一つの単位と見なすことができる式になります。それを例えばＡとおくと、与式は(３Ａ)^2＋(３／Ａ)^2＝82と書き換えられます。それを解くと、Ａ＝９，1/9となります。それから、y=2/x（但し、ｘ、yは実数）を代入していけばいいでしょう。

私が解いた答えは、（±１，±２）の組み合わせと、（±２，±１）の組み合わせの合計４組です。

回答No.3

take008

できますよ。
2式より　y=2/x
1式に代入して整理すると　
x^8-17x^4+16=0
(x^4-1)(x^4-16)=0
となります。

1式を整理するとき，ちょっと工夫すると楽にできます。

回答No.2

Dr-Field

単純に代入すると大変なことになりますから、ちょっと工夫。

最初の式において、（　）の中をちょっと計算すると、(x-y)/(x+y)を一つの単位と見なすことができる式になります。それを例えばＡとおくと、与式は(３Ａ)^2＋(３／Ａ)^2＝82と書き換えられます。それを解くと、Ａ＝81/82、1/82となります。それから、y=2/xを代入していけばいいでしょう。

私が解いた答えは、±(√166)/9、±(9√166)/83の組み合わせと、±√326、±(√326)/163の組み合わせの2組です。

回答No.1

suko22

たとえばｘを消去してｙだけの式にして、（2+ｙ＾2）と（2-ｙ＾2）をひとかたまりにして計算していくと比較的楽に答えが出ました。全部展開するととんでもない計算量になりそうです。