物理1の等加速度運動の問題について質問があります

質問

東向きに速さ10m/sで進んでいた自動車が
一定の加速度で速さを増し、5.0s後に20m/sの速さになった。
加速している間に自動車は何進んだか

という問題が、わかりません
加速しだした5秒間に進んだ距離、だから
2分の1at∧2で出してみたのですが、答えとは違う計算結果になりました。

平均速度をつかって、15×5という計算で出す方法でやったら上手くいきました。
でも、何故2分の1at∧2は使えないのですか？距離の公式なのでこれをつかうのかなぁと思ったのですが・・・。

回答No.4

ereserve67

ANo.3です．

>=(1/2)t(at+2v_0)
>=(1/2)t(v+v_0)
>の、atはどこへいったんですか？(゜o゜;;

もう一度運動学のおさらいをしておきましょう．直線上の原点Oを出発して，一定の加速度aでト加速度運動する点Pについて，距離s=OP，速度v=ds/dt，加速度a=dv/dtなのですが，

t=0のときs=0,v=v_0

とすると，

(1)v=at+v_0
(2)s=(1/2)at^2+v_0t

となることが知られています．まず(2)の式を変形して

s=(1/2)t(at+2v_0)

これからよく見ていてください．この式の右の括弧の中は(at+v_0)+v_0となりますが(1)よりこれはv+v_0となります！

∴s=(1/2)t(v+v_0)

atはvの中に隠れているだけです！

なお，平均速度

<v>=(1/2)(v+v_0)=(1/2)(at+2v_0)=a(t/2)+v_0

は時刻t/2における速度だということも分かります．つまり2.5秒後の速度で一様に進んだ場合の距離と同じ距離進んだことになります．

※少し余裕があったら気に留めておいてください：平均速度<v>は必ず0～tの間のある時刻t_1における速度の値v(t_1)になり，距離sは速度v(t)の積分（vtグラフの面積）∫_0^tv(τ)dτとなりますから，積分の平均値の定理

∫_0^tv(τ)dτ=v(t_1)t

が成り立つことになります．

お礼

解決しました！
詳しい解説をありがとうございます。助かりました！
貴重なお時間を割いていただき、ありがとうございます。

回答No.3

ereserve67

ANo.2です．補足．

平均速度でうまくいく理由を考えましょう．v=v_0+atですから

s=(1/2)at^2+v_0t=(1/2)t(at+2v_0)=(1/2)t(v+v_0)={(v+v_0)/2}t

平均速度(v+v_0)/2に所要時間tをかけたら距離sになるのです．

お礼

ありがとうございます！！

補足

すみません、
その式の、
=(1/2)t(at+2v_0)
=(1/2)t(v+v_0)
の、atはどこへいったんですか？(゜o゜;;

回答No.2

ereserve67

速度vと距離sについて

v=at+v_0
s=(1/2)at^2+v_0t

となります．sには初速の効果が入ったこの式s=(1/2)at^2+v_0tを使うべきです．

v_0=10,t=5のときv=20だからv=at+v_0より

a=(v-v_0)/t=(20-10)/5=2

∴s=(1/2)at^2+v_0t=0.5・2・5^2+10・5=75

回答No.1

hitokotonusi

初速があるからですね。初速v0がある場合は時刻tの速度が

v(t) = v0 + a t

数字を入れれば5秒後に20m/sなので

20m/s = 10m/s + 5s × a

これから加速度aを出します。初速がある場合の移動距離は

x(t) = v0 t + (1/2)at^2

なので、数字を代入すれば

x(5s) = 10m/s × 5s + (1/2) a (5s)^2

これに上で求めたaを入れて答を出してください。

お礼

なるほどー！Ｖ0t をつけると、5秒間だけじゃなくなってしまうような気がしてしまって…。よく間違えちゃうんです(＞_＜)
ありがとうございました！