掛け算・割り算＞足し算・引き算の証明

質問

掛け算・割り算を足し算・引き算より
先に計算することを証明できますか？

高３です

友達に聞かれたのですが
どう言えばいいのか分かりませんでした

自分なりに調べた所、群・環・体が分かれば
証明できるとネットに書いてあったのですがそれは本当ですか？
（本を読んで少しだけですが群・環・体の定義は分かっているつもりです）

書けるようであればコピペでもいいですから
証明を書いてくれませんか？

無理でしたら証明できる・できないの
回答だけでもお願いします

回答No.8

thunderfish

数式を書くときの約束事です。

（（３÷２）＋（２×３）) などと一々括弧をつけるのが煩わしいしかえって見にくいため、括弧の省略の習慣ができました。

a/bc などは、それでも紛らわしいので、a/(bc) とか(a/b)ｃ または

a
---
bc

のように、見る人にはっきり分かるようにする方がいいです。
この規則は「括弧の省略規則」と理解するのがたぶん一番分かりやすいと思います。

ab-ab

という式は、abの値を計算することなく、引き算で0と答えが出ますから、「計算する順序」とは微妙に意味合いが異なります。

回答No.7

noname#163178

「証明できる・できない」ではなくて、証明するべきことではないものです。つまり定理ではないです。定義・公理といってもいいのかもしれませんが、そんな大げさなものではなく、単に記号の取り決めという程度でしょう。

計算の順番は、単に括弧を省略するためのルールにすぎません。

たとえば、２＋３×５という計算をする場合、

３×５を先にやりたければ　→　２＋（３×５）

２＋３を先にやりたければ　→　（２＋３）×５

と書けばいいのですが、掛け算を優先しておくというルールを決めておけば、２＋（３×５）という式から括弧を省略して２＋３×５としても同じ意味と認識することができます。入れ子になって括弧を沢山使う必要がでてくる場合に、括弧を省略するルールは煩雑さを減らしたり間違いを減らしたり式の長さを短くしたりという効能があります。

あなたが独自のルールとして足し算を優先しておくというルールを作っても別に構いません。ただ、掛け算を優先するというルールを使っている人と意思疎通するために説明が必要になり、面倒なだけです。♯とか☆のような記号を新たに定義して、＃は足し算の意味で☆は掛け算の意味だけど＃は☆より優先する、みたいなルールを作ってもいいと思いますけど、共通のルールだからこそ有用なのであって、あまり効用はないでしょう。

回答No.6

noname#235638

私は、ばかなのでできませんが・・・
群・環・体で証明できそうです。

たとえば、
６÷２（１＋２）の答えは何か？
これを四則演算の優先順位通り行うと
９になり１にはなりません。
数学である以上何か法則があるはずです。
この四則演算の法則を破壊させないための
「群」「環」「体」なのでは、ないでしょうか。

そもそも計算とは
（１）　足し算・かけ算は前後を入れ替えても答えは変わりませんが、引き
　　　　算・割り算は前後を入れ替えると結果が変わってしまいます。
（２）　引き算・割り算は、それぞれ足し算・かけ算の逆の計算。
（３）　整数に対して足し算・引き算・かけ算をしても結果は整数ですが、
　　　　割り算をすると結果が整数になるとは限りません。
（４）　有理数、実数、複素数は四則演算いずれを行っても、結
　　　　果はそれぞれ有理数、実数、複素数になります。

回答No.5

Tacosan

これは #3 でも言われているように, 純粋に「そ～いうお約束」だからにすぎません. 実際, 加減算も乗除算もなにもなく「とにかく右から計算する」という「お約束」にしたとしても (「慣れない」以外に) 不都合はありません.

ちなみに「2×5+3は、2+2+2+2+2+3と言う意味でした」と書いた時点で「乗除算を加減算より優先する」ということを暗黙に仮定してるのでアウト＞#4.

回答No.4

ORUKA1951

掛け算と割り算が同じもの、足し算と引き算が同じもの--正確には割り算は掛け算として、引き算は足し算として表されること。これは中学校で学びましたよね。数の拡張のところで。
　2÷3は、2×(1/3)。　2-3は、2+(-3)・・これで
交換の法則　A[演算子]B = B[演算子]A
分配の法則
結合の法則
が使えるようになり、二次方程式がax²+bx+c と表されるとか・・

さらに小学校で、掛け算とは足し算の簡易表記と言うことも習ったはずです。すなわち
2×5は、2+2+2+2+2 を意味することだと。

2×5+3は、2+2+2+2+2+3と言う意味でした。これは自由に順番を変えることが出来ます。すなわち2+3 = 3+2ですから、2+2+2+2+3+2 。
　では、2×5+3 が、先に5+3を計算すると、2×8 となり、2+2+2+2+2+2+2+2 これは???

回答No.3

alice_44

掛け算割り算を先に計算する…というのは、
必然的にそれが成り立つ事実(定理)ではなく、
慣習的にそう決めてある(規約)に過ぎません。
規約には、証明はあり得ません。
(貴方が見かけたサイトは、全く代数を知らない
人が書いているか、貴方が読み間違えているか
のどちらかだと思います。)

架空の話として、足し算引き算から先に計算する
という記法を規約しても、それはそれで
問題なく運用することができますし、
現在の普通の数学と内容的には何も違わない
数学を行うことができます。
違ってくるのは、式の書き方読み方だけです。
(慣れなくて見づらいので、そんな規約を
ワザワザしてみることはありませんが。)

回答No.2

asuncion

単に、演算子の優先順位を定義しているだけであるような気がします。
例えば、1+2×3という数式を見たとき、人によって
1+(2×3)
(1+2)×3
という異なる解釈をしたのでは、解決する問題も解決しなくなってしまうので、
混乱しないように優先順位を設けただけであるような気がします。

私は数学の専門家ではありませんので、上記の見解は間違っているかもしれませんし、
群・環・体がどう関係するかはよくわかりません。

回答No.1

k_kota

基本的には、乗算は加算より先にやるというルールを決めています。

証明も何もありません。

逆に言うと乗除を先にやるように書いても良いわけですが、演算の優先度はカッコでどうにでもなるので意味がありません。

そう言うものではないのでしょうか？