あと何回水を換えればよいのでしょう

質問

金魚を別水槽の水に慣らすために、少しずつ水替えをしています。水槽の容量がかぎられているため、古いお水を抜いてから、同じ量の新しいお水を足しています。が、いったい、これをいつまで続ければ良いのか、分からなくなってしまいました…。

●「8リットルのお水に金魚が泳いでいます。新しい水を500cc加え、その水槽から500ccのお水を抜き取る、という作業を繰り返します。抜き取るのは、古いお水と、それまでに加えた新しいお水の混合水500ccということになります。
　金魚が新しいお水に慣れ、他の水槽に移せるようになるには、新しいお水の比率が、4/5（80％）に達しなくてはいけません。
　何回の水替えで、金魚を新しい水槽に移すことができるでしょうか？」

…というような問題になると思うのですが。自分で計算しようとしましたが、算数・数学から離れて久しく、パンク寸前です。今、13回までこの作業を繰り返しました。どうぞ、お助けいただけますよう、よろしくお願いいたします。

回答No.3

ryn · ベストアンサー

方針は joe-higasi さんと同じですが、
500cc加えてから抜き取るのであれば、
15/16 でなく 16/17 になると思います。

そうすると、
　26回目　(16/17)^26 = 0.206
　27回目　(16/17)^27 = 0.194
となり、27回繰り返すと新しい水が80％に達します。

お礼

あ、そうです。加えてから、抜き取ります。27回…！　なるほど。ありがとうございます。

回答No.5

joe-higasi

＞古いお水を抜いてから、同じ量の新しいお水を足しています。

＞新しい水を500cc加え、その水槽から500ccのお水を抜き取る、という作業を繰り返します。

どちらのやり方をしているかで、ちょっと回数が変わるわけですね。
No.1は上だと思い込んでの回答でした。

お礼

すみません、問題の出しかたが下手でしたね。こういうことに慣れていないのが、明らかにばれてしまいました。一番に答えていただいて、助かりました。ありがとうございました。

回答No.4

nrb

惜しいですねＮｏ１の方
８０００ｃｃに５００ｃｃ足すのですから
計算は８５００ｃｃが８０パーセント以上のに成ったときが正解　ここがミソ　

全体で入れ替わるのは１／１７ですから
古い水の比率　=（16/17）^n回ですね

結果は２７回で約８０．５パーセント入れ替わります

お礼

やっぱりその条件ですと、27回になりますか。数学的な問題は解決しましたが、あと14回も作業をするのは大変だ～、と目が覚めましたので、現実には、もともとの水槽の水を少し減らすか、加えるお水の量を増やして、多少のスピードアップをはかろうかと思います。みなさんの公式を使わせていただいて、計算してみますね。本当に助かりました。ありがとうございました！

回答No.2

neue_reich

とりあえず、目的が新しい水の比率であると言う点に注目しましょう。
すると、
>8リットルのお水に金魚が泳いでいます。新しい水を500cc加え
８リットルの水には最初は古い水が１００％入っていますが、
２回目以降はｘ％になります。
これに新しい水５００ｃｃを入れるので合計８．５リットルのうち
何％が新しい水か？を計算すると、
　X2 = (500+8000*X1*0.01)/(8500) * 100
となります。(X1は今の新しい水の％、X2は水を足した後の新しい水の％)
１回目は5.88%
２回目は(500+80*5.88)/85=11.42%
３回目は(500+80*11.42)/85=16.63%
４回目は(500+80*16.63)/85=21.53%
５回目は(500+80*21.53)/85=26.24%
６回目は(500+80*26.24)/85=30.57%
７回目は(500+80*30.57)/85=34.65%
８回目は(500+80*34.65)/85=38.42%
９回目は(500+80*38.42)/85=42.04%
１０回目は(500+80*42.04)/85=45.45%
１１回目は(500+80*45.45)/85=48.66%
１２回目は(500+80*48.66)/85=51.68%
１３回目は(500+80*51.68)/85=54.52%
１４回目は(500+80*54.52)/85=57.19%
１５回目は(500+80*57.19)/85=59.71%
というようになります。
（だんだん疲れてきたので以下略。これを続ければ何回目で８０％を超えるかが算出できます）

お礼

疲れさせてしまって申し訳ないです(^-^)。ありがとうございました。「数学なんて、生活のなんの役に立つんだ！」などというセリフは、決してクチにしてはいけないのだと、今日、はっきり分かりました。

回答No.1

joe-higasi

8リットルのうち500mlを新しい水にするわけですから

一回の操作で、全体の1/16の水を入れ換えます。
ということは、1回入れ換えを行うと、
直前の比率x15/16で古い水が残ります。

古い水の比率　=（15/16）^n回

　１回目・・・（15/16）　　　　　　　　　　=0.937
　２回目・・・（15/16）x（15/16）　　　　　=0.878
　３回目・・・（15/16）x（15/16）x（15/16）=0.823

順番にやっていくと、２５回目で古い水の比率が0.199となり、新しい水の比率が約80%となります。

お礼

早速ありがとうございます！　まだ道半ばでしたか…。あと数回で、良いかと思っていましたのに（あぶないところでした）。おかげさまで、金魚も元気に引っ越しできると思います。