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 行列

さっきのは間違いで、 固有値√(2+(√5))を持つ行列Aですが, x=√(2+(√5))を解いて、x^4-4x^2-1としました。 Aの固有多項式がx^4-4x^2-1を因数にもつのはなぜなのか、教えて下さい。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

A の成分が、有理数だからなんじゃないの? 問題に、そう書いてなかった?

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回答No.1

行列Aの固有値はAの固有多項式f(x)の根です.nをAの次数とすると,固有値xはn次方程式f(x)=0の解とも言います. xがAの固有値である⇔xはAの固有多項式の根である さて√(2+√5)がAの固有値であることを知らされて,これを解とする4次方程式を求めたのですね.多分以下のようにして求めたのでしょう. x=√(2+√5)とおくとx^2=2+√5,x^2-2=√5.両辺を平方して(x^2-2)^2=(√5)^2,x^4-4x^2-1=0 しかし,f(x)が4次式x^4-4x^2-1を因数にもつとは必ずしも言えません.この4次方程式の解はx=±√(2±√5)の4つであり,これらがすべてAの固有値ならばそう言えるでしょう.しかし,固有値と言えるのは√(2+√5)だけですよね.Aに対する条件も見当たりません.だから,確実に言えるのは, Aの固有多項式はx-√(2+√5)を因数に持つ ということです.

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