大学数学の解析でわからなくて困ってます。

質問

大学数学の解析の問題がわかりません。

1、一階常微分方程式のすべての実数値関数の 解を求めよ。
(1) u’=t*u∧2
(2) u’=t*√(1-u∧2)

2、一般解を求めよ
(1) u’-2*t*u=t∧3
(2) u’’-2*u’-3*u=e∧t*cost
(3) u"'-6*u"+11*u'-6*u=0

3、すべてのz∈Ｃに対してe∧z≠0であること 確かめよ

4、λ,μ∈Ｃ,λ≠μとする、次がu1,u2∈Ｃ∧∞(Ｒ)はＣ Ｒ)で一次独立であることを示せ
(u1(t),u2(t))=(e∧(λ*t),e∧(μ*t))

一問でも全然構わないのでよろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

１、
変数分離形です。分離した後の積分計算も高校範囲。
これは、自分でやらないと。

２、
斎次線型微分方程式の解き方は、知らないと話になりません。
ここで答えを聞いて済むようなことではないから、教科書を
ちゃんと復習しましょう。それで、(3)は解決。
(1)(2)については、特殊解をひとつ見つけて u=w+(特殊解)
を代入すれば、w に関する斎次線型微分方程式になります。
特殊解の見つけ方は、経験がモノを言いますね。
(1) u = at^n
(2) u = (e^t)(a sin(t + b))
とでも置いて、上手く合う係数がないか考えて見ましょう。

３、
e^z の定義は、教科書ごとに違う(同値だが表現形式は違う)
と思いますが、その定義から指数法則を証明してはどうでしょう。
e^z = 0 となる z が存在すると、指数法則から
とんでもない結論が導けます。→背理法

４、
意味不明な文章ですが…
u1, u2 が C 上で一次独立なことを示そうというのなら、
「一次独立」の定義に従って粛々とやればよいでしょう。
その定義がわからないのなら、解析ではなく、線形代数の教科書を
確認しましょう。

一問でも全然構わないので
やってみたことを補足にどうぞ。

回答No.2

Tacosan

で 3 と 4 は使っているものの定義をまず確認しろ, と.

回答No.1

Willyt

宿題の丸投げはいけません。ですからヒントだけ。

1. ｕはｔ の函数ですよね。

　１）　du/u^2 = tdt ですから、 -1/u=t^2/2 +c

２）　du/√(1-u^2)=tdt ですから　∫ １/√(1-u^2)du=t^2/2 +c 左辺の積分は公式集に載ってます(^_^;)

２．　左辺＝０として解いたものに　原式を満たす特解を一つ見つけ、これを加えればいいのです。左辺＝０としたときは簡単な線形微分方程式だから簡単に解けますね。特解の見付方はテキストに載っている筈です。