数列{an}について、a[1]=1・・・

質問

数列{an}について、a[1]=1, a[n+1]=2a[n]+1 (n=1,2,3,・・・）とする。 b[n]=a[n]+1とおくとき、b[n+1]=□b[n]であり、また、b[1]=□である。よって、b[n]=□と表される。これより a[n]=□ - □ と求めることが

できる。

よろしくお願いします！

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

a[n+1]=2a[n]+1
b[n]=a[n]+1とおきなさい、と親切に言ってくれているので、素直に従います。

a[n+1]+1=2(a[n]+1)より、
b[n+1]=2b[n]
よって、数列{b[n]}は、初項b[1]=a[1]+1=2、公比2の等比数列である。
b[n]=2・2^(n－1)=2^n
∴a[n]=b[n]－1=2^n － 1

□の中を、上記に従って適当に埋めてください。

回答No.2

noname#160544

別の問題でも使いましたが、a[n+1]=2a[n]+1のa[n+1]とa[n]をある定数cやαなどに置きかえ、cを求めると、(今回の場合、
c=2c+1
c=-1)
この漸化式がa[n+1]-c={a[n]の前についてた係数}*(a[n]-c)となります
(このやり方は特性方程式と言うので検索してみてください)
今回の場合、a[n]の前についてた係数が2、cが-1なので
a[n+1]+1=2(a[n]+1)となります
a[n]+1をb[n]という数列に置き換えれば、b[n+1]=2b[n]という等比数列になります
漸化式をやっているということは等比数列の一般項の公式は知っているとします
b[1]=a[1]+1=2、公比2
b[n]=2・2^(n-1)=2^n
b[n]=a[n]+1だから
b[n]=2・2^(n-1)=2^n
のb[n]をa[n]+1に置き換え
a[n]+1=2^n
a[n]=2^n - 1
となります

□に入る答えはこの文の中に書いてありますので確認してみてください