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ζ(2) の値
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http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76142 の回答で shushou さんが書かれているように (1) sin x / x = Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)} ですね. 右辺の無限乗積をばらして,x^2 の項を集めると (2) Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)} = 1 - (x^2/π^2){1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・ } + (x^4 以上の項) になります.右辺第2項の{ }内がちょうどζ(2)です. 左辺をxで展開すれば (3) sin x / x = 1 - (1/3!)x^2 + (x^4 以上の項) ですから,(2)(3)で x^2 の項の係数を比べて (4) ζ(2) = π^2/6 が得られます. 他には,Fourier 級数を利用する方法もあります. (5) f(x) = x^2 を -1≦x≦1 で Fourier 展開すれば (6) x^2 = 1/3 + (4/π^2) Σ(n=1~∞) {(-1)^n / n^2} cos(nπx) になります. (6)で x=1 とおくと,右辺のΣのところがちょうどζ(2)になって, 簡単に(4)が得られます. 同様に,x^4 の Fourier 級数展開から (7) ζ(4) = π^4/90 がわかります. なお,(7)は(2)の右辺で x^4 の項を調べても得られます.
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