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ζ(2) の値

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いわゆるゼータ関数のζ(2)の値

Σ1/(n^2)= π^2/6

は、どのようにして導くのでしょうか。
たしか sin の無限乗積展開をつかったような記憶が
あるのですが.....。
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76142
の回答で shushou さんが書かれているように
(1)  sin x / x = Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
ですね.
右辺の無限乗積をばらして,x^2 の項を集めると
(2)  Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
    = 1 - (x^2/π^2){1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・ } + (x^4 以上の項)
になります.右辺第2項の{ }内がちょうどζ(2)です.
左辺をxで展開すれば
(3)  sin x / x = 1 - (1/3!)x^2 + (x^4 以上の項)
ですから,(2)(3)で x^2 の項の係数を比べて
(4)  ζ(2) = π^2/6
が得られます.

他には,Fourier 級数を利用する方法もあります.
(5)  f(x) = x^2
を -1≦x≦1 で Fourier 展開すれば
(6)  x^2 = 1/3 + (4/π^2) Σ(n=1~∞) {(-1)^n / n^2} cos(nπx)
になります.
(6)で x=1 とおくと,右辺のΣのところがちょうどζ(2)になって,
簡単に(4)が得られます.
同様に,x^4 の Fourier 級数展開から
(7)  ζ(4) = π^4/90
がわかります.
なお,(7)は(2)の右辺で x^4 の項を調べても得られます.
お礼コメント
shushou

お礼率 100% (1/1)

なるほど分かりました。
フーリエ展開でもできるんですね。知らなかったです。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-05-16 14:29:14
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