sin三乗Θ+cos三乗Θの値は？

質問

sinΘ+cosΘ=1/3のときの sin三乗Θ+cos三乗Θの値の解き方と答えが分かりません。

もし、分かる方がいらっしゃいましたら、教えて下さい。

お願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

よく知っている公式sin二乗Θ＋cos二乗Θ＝１も使いましょう。
簡単にするために、sinΘ=x cosΘ=y とします。
問題はx+y=1/3の時にx^3+y^3を求めることになります。
使う公式はx^2+y^2=1です。
三乗が欲しいのでまずx+yを三乗します。
(x+y)^3=(x^2+y^2+2xy)(x+y)=x^3+y^3+3xy^2+3yx^2ですから、移項して
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)・・・・・(ア)になります。
ここでxyを求めるために公式x^2+y^2=1を使います。
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=1+2xyですから、xy=｛(x+y)^2-1｝/2になり、
x+y=1/3を代入してxy=｛(1/3)^2-1｝/2=(1/9-1)/2=(-8/9)/2=-4/9に
なります。この値とx+y=1/3を(ア)式に代入して
x^3+y^3=(1/3)^3-3*(-4/9)*(1/3)=1/27+4/9=13/27
よってsin三乗Θ+cos三乗Θ＝１３/２７となります。

お礼

詳しくありがとうございます。分かりました。ありがとうございます。

回答No.2

ID10T5

答え：13/27だと思います。

解き方：x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)という因数分解の公式を利用します。この問題の場合はx+yの値が分かっているし、三角関数だからx^2+y^2=1ということも分かっています。なのでxyの値さえ分かればおしまいです。

まずsinΘ+cosΘ=1/3の両辺を二乗する。すなわち
(sinΘ+cosΘ)^2=sin二乗Θ+cos二乗Θ+2sinΘcosΘ=1+2sinΘcosΘ=1/9
となるので、sinΘcosΘ=-4/9…(1)である。

次にx^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)だから
sin三乗Θ+cos三乗Θ=(sinΘ+cosΘ)(sin二乗Θ+cos二乗Θ-sinΘcosΘ)=(sinΘ+cosΘ)(1-sinΘcosΘ)…(2)
(2)式の右辺にsinΘ+cosΘ=1/3とsinΘcosΘ=-4/9を代入する。つまり
(sinΘ+cosΘ)(1-sinΘcosΘ)=1/3×(1+4/9)=13/27

お礼

分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

ferien

>sinΘ+cosΘ=1/3のときの sin三乗Θ+cos三乗Θの値の解き方と答えが分かりません。

まず、（sinΘ+cosΘ）^2＝(1/3)^2　を計算して、sinΘcosΘ　の値を求めて下さい。

次に、公式ａ^3＋ｂ^3＝（ａ＋ｂ）（ａ^2－ａｂ＋ｂ^2）を使って
sin三乗Θ+cos三乗Θの値を求めて下さい。

まだ計算していませんが、これで求められると思います。