答えあわせしていただけませんか。
先日も質問させていただいたのですが、練習問題の答えがなく解いてはみたもののあっているのかわからないので、間違えている部分があったら指摘をお願いします。（全く合っていなかったりして・・・）
問題：Z[√ｍ]が環、Q(√m)が体である事を示せ。
特に、a,b∈Qについて、a≠0またはb≠0のとき、a+b√m∈Q(√m)の逆減を計算せよ。
（注意：数の間の和および積に関しては、結合法則、分配法則、交換法則が成り立っていることは仮定してよい。）
(pr．)Z⊆C , Z[√ｍ]∋a+b√m , c+d√mとすると、
(a+b√m)+(c+d√m)=a+c+(b+d)√m
(a+b√m)*(c+d√m)=(ac+bdm)+(ad+bc)√m
a,b,c,d∈Zで、a+c、b+d、ac+bdm、ad+bc∈Zであるから、
二項演算が成り立つ。
また、
∀a,b∈Z 、 a+b√m+0+0√m=0+0√m+a+b√m=a+b√m
0+0√m∈Z[√m]・・・(零元の存在)
∀a,b∈Z 、 a+b√m+(-a-b√m)=0+0√m
-a-b√m∈Z[√m]・・・(逆元の存在)
∀a,b∈Z 、 (a+b√m)*(1+0√m)=a+b√m
1+0√m∈Z[√m]・・・(単位元の存在)
以上のことよりZ[√m]は環になる。
Q(√m)はZ[√m]と同様にすると環であるかとは明らか。
体は、零元以外の元がすべて逆元を持てばよいから、
Q(√m)∋a+b√mの逆元は
1/a+b√m=(a-b√m)/(a^2-mb^2)=(a/(a^2-mb^2))-(b√m/(a^2-mb^2))
a≠0またはb≠0のとき
a/(a^2-mb^2) , b/(a^2-mb^2) ∈ Q
よって零元以外のすべての元が逆元を持つ。
したがってQ√mは体になる。
以上ですよろしくお願いします。
お礼
ありがとうございました。もうＢＵＭはないんですね。疑問がすっきり解消されました。