力学の剛体振り子

質問

力学の剛体振り子についてしつもんです。

画像にもあるように２重の剛体振り子についての質問です。
天井に自由に回転できるAによって固定されています。
一つ目の剛体は一様な棒です。
一様な棒は質量m長さaです。
二つ目の剛体は円板です。
半径R、質量Mとなっています。

円板は棒の端にある自由に回転できるジョイントにつけられています。
A点の鉛直下向きの線からの振り子の棒までの角度をθ、
棒と円板をくっつける自由ジョイントBから鉛直下向きに線をおろし、
円板の直径とのなす角度をφとしています。

振り子のふりはじめはθ＝θo φ＝φo をふりはじめの角度としています。

棒のA点まわりの慣性モーメントをIoa 円板のB点まわりの慣性モーメントを　Ic
として、
運動エネルギー、位置エネルギーを求めたいとおもっています。
運動方程式算出を、θ、φ、θ'、φ'、θ''、φ''を用いてとく。

↓問題点は自分の問題点です・・・・
２つ解き方があると考えています
(1)剛体の運動エネルギーは、重心の運動エネルギー＋重心を回転中心とした回転の運動エネルギー
より求める方法です。
問題点：しかし、円板の回転による運動エネルギーは、どの角度をつかって(1/2)I ?^2
?の角度がわかりません。

(2)棒、円板ともに座標を置いて微分、(1/2)mv^2にする方法
問題点：慣性モーメントをもとめているのに使わない・・・・・・

よろしければ導出も含め、おしえていただけると運動エネルギー、位置エネルギー
運動方程式をおしえていただけるとありがたいです。

よろしくおねがいします。

回答No.1

yokkun831

以下時間微分を「'」で示します。
A点を原点とし，鉛直下方にy軸，水平左方にx軸をとります。
棒の重心座標(x1，y1)，円板の重心座標(x2，y2)とすると，

x1 = a/2・sinθ
y1 = a/2・cosθ
x2 = a sinθ + R sinφ
y2 = a cosθ + R cosφ

時間微分をとると，

x1' = aθ'/2・cosθ
y1' = -aθ'/2・sinθ
x2' = aθ'cosθ + Rφ'cosφ
y2' = - aθ'sinθ - Rφ'sinφ

棒の重心の運動エネルギー
1/2・m(x1'^2 + y1'^2)
棒の重心まわりの回転エネルギー
1/2・Ioθ'^2
　（ただし，平行軸の定理により，Io = Ioa - m(a/2)^2）

の和をとれば棒の運動エネルギーが得られます。

一方，Ioaをそのまま使う立場では，運動エネルギーのすべてはA点まわりの回転エネルギーに集約されて

1/2・Ioaθ'^2

となります。上の２つの和に等しくなることを確かめて下さい。

一方，円板の方は

重心の運動エネルギー
1/2・M (x2'^2 + y2'^2)
重心まわりの回転エネルギー
1/2・Irφ'^2
　（ただし，平行軸の定理により，Ir = Ic - MR^2）

となります。

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質問(1)への回答
もちろん，円板の回転角φの時間微分φ'を用いることになります。

質問(2)への回答
重心の運動エネルギーに，重心まわりの回転エネルギーを加えなければなりません。

お礼

返答していただきありがとうございました。
補足をみていただけたら幸いです。

補足

ありがとうございました。
いくつか質問があるのですがよろしいでしょうか？

Ioaをつかっても使わなくとも棒の運動エネルギーがもとまるのはよくわかりましたが、
重心まわりの回転エネルギーがよくわかりません。

質問(1):棒の場合、Ioθ'^2でしたが、重心まわりなのに、棒の回転角であるθを用いているのかわかりません。
円盤の場合も、φをつかって重心まわりの回転エネルギーをもとめていますが、ジョイントとの垂線からの円盤の傾きであるφをつかうのはなぜなのでしょうか？
イメージでは重心を原点とした回転角かと思います。
推測ですが、同位角より、θ、φをいどうさせ、それぞれの重心の中心角と同じということでいいのでしょうか？

質問(2) Icをつかって円盤の運動エネルギーを求めることはできないのでしょうか？

質問(3):位置エネルギーは、重心位置の高さ成分(y1,y2)に質量、重力加速度gをかけたものでいいのでしょうか？
θo,φoを使わないのでしょうか？

質問(4):運動方程式はどうなりますでしょうか？

少し分かってきたのですが、分かってきたら新たな問題にあたります。
教えていただけないでしょうか？