中学数学の問題です。

質問

中学数学の問題です。いろいろ解こうとしましたが、上手く解けません。よろしくお願いします。

三角形ＡＢＣについて、ＡＢ＝５、ＡＣ＝３とする。ＢＣ間に点Ｄを、さらに、ＣＤ間に点Ｅをとり、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥとする。
ここで、ＡＤ＝a、ＡＥ＝ｂとする。

(１)ＢＤ/ＣＥをa、ｂを用いて表せ。
(２)ＢＤ＝２、ＣＤ＝４とするとき、ＣＥの長さを求めなさい。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞三角形ＡＢＣについて、ＡＢ＝５、ＡＣ＝３とする。ＢＣ間に点Ｄを、
＞さらに、ＣＤ間に点Ｅをとり、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥとする。
＞ここで、ＡＤ＝a、ＡＥ＝ｂとする。

＞(１)ＢＤ/ＣＥをa、ｂを用いて表せ。
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ＝αとおく。
△ＡＢＤと△ＡＣＥで、頂点Ａからの高さが同じだから、面積比と底辺の比は等しい。
よって、ＢＤ：ＣＥ＝△ＡＢＤ：△ＡＣＥ
＝(1/2)×５×ａ×sinα：(1/2)×３×ｂ×sinα
＝５ａ：３ｂ
よって、ＢＤ／ＣＥ＝５ａ／３ｂ

＞(２)ＢＤ＝２、ＣＤ＝４とするとき、ＣＥの長さを求めなさい。
∠Ａの二等分線を引き、ＢＣとの交点をＦとする。
∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＥより、ＢＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝５：３　……（１）
さらに、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥだから、∠ＤＡＦ＝∠ＥＡＦより、
ＤＦ：ＦＥ＝ＡＤ：ＡＥ＝ａ：ｂ　……（２）
（１）の結果より、ＢＤ：ＣＥ＝５ａ：３ｂより、２：ＣＥ＝５ａ：３ｂ
よって、ＣＥ＝６ｂ／５ａ＝(6/5)×（ｂ／ａ）……（３）
ＢＣ＝２＋４＝６だから、（１）より、
ＢＦ＝(5/8)ＢＣ＝(5/8)×６＝15/4，ＦＣ＝(3/8)ＢＣ＝(3/8)×６＝9/4
ＤＦ＝ＢＦ－ＢＤ＝(15/4)－２＝7/4
（２）より、7/4：ＦＥ＝ａ：ｂだから、ＦＥ＝７ｂ／４ａ
ＦＣ＝ＦＥ＋ＥＣ　と（３）より、
（７ｂ／４ａ）＋（６ｂ／５ａ）＝９／４
５９ｂ／２０ａ＝９／４
よって、ｂ／ａ＝４５／５９
（３）に代入して、
ＣＥ＝（６／５）×（４５／５９）＝５４／５９

になりましたが。。どうでしょうか？

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.4

nag0720

(1)
BD/CE＝5a/3b

(2)
∠BAE＝∠CAD　だから(1)と同じ考え方で、
BE/CD＝5b/3a
よって、
(BD/CE)×(BE/CD)＝25/9
(2/CE)×((6-CE)/4)＝25/9
CE＝54/59

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

h_flower

(1)5a/3b（証明略）
(2)∠BACの二等分線と線分BCとの交点をMとおく。
　まず、BD=2と(1)よりCE=6b/5a　また、BM:MC=AB:AC=5:3より
　BM=15/4,MC=9/4,MD=BM-BD=7/4
　三角形ADEにおいて、AMは∠DAEの二等分線でもあるから，
　DM:ME=AD:AE=a:b よってME=7b/4a
　ここでME:CE=7b/4a:6b/5a=7/4:6/5,MC=9/4より
　CE=54/59となる。

これって、灘高の受験問題じゃなかったっけ？

お礼

そうみたいです。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

ennalyt

△ABCは描いてみました？
BC=4で、直角三角形になったでしょ？

これだけで見通しがよくなるんだけどなぁ。

お礼

ご解答ありがとうございます。